Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1930
2019-01-22 
Найдите сумму $\left [ \frac {1}{3} \right ]+ \left [ \frac {2}{3} \right ]+ \left [ \frac {2^2}{3} \right ]+ \left [ \frac {2^3}{3} \right ] + \cdots+ \left [ \frac {2^{1000}}{3} \right ]$.
Решение:
Уберем первое слагаемое - оно равно 0 - и вместо суммы остальных 1000 слагаемых рассмотрим сумму
$\frac{2}{3} + \frac{2^2}{3} + \frac{2^3}{3} + \cdots \frac{2^{1000}}{3}$.
Это - сумма геометрической прогрессии, и она равна $\frac{2^{1001} - 2}{3}$. Теперь заменим все ее слагаемые целыми частями. Заметим, что ни одно из этих слагаемых не является целым, а сумма любых двух последовательных слагаемых - целое число (потому что $\frac{s^k}{3} + \frac{2^{k+1}}{3} = \frac{3 \cdot 2^k}{3} = 2^k$). Ясно, что если сумма двух нецелых чисел - целое число, то сумма их целых частей меньше суммы самих чисел на $1 ([\alpha + \beta] = [[\alpha] + {\alpha} + [\beta] + {\beta}] = [\alpha] + [\beta] + [{\alpha} + {\beta}] = [\alpha] + [\beta] + [1] = [\alpha] + [\beta] + 1)$.
Поэтому при замене каждых двух последовательных членов нашей геометрической прогрессии целыми частями сумма уменьшается на 1, а так как в сумме всего 1000 слагаемых, то при замене целыми частями их всех она уменьшится на 500.
Ответ. $\frac{2^{1001} - 2}{3} - 500$.
Найдите сумму $\left [ \frac {1}{3} \right ]+ \left [ \frac {2}{3} \right ]+ \left [ \frac {2^2}{3} \right ]+ \left [ \frac {2^3}{3} \right ] + \cdots+ \left [ \frac {2^{1000}}{3} \right ]$.
Решение:
Уберем первое слагаемое - оно равно 0 - и вместо суммы остальных 1000 слагаемых рассмотрим сумму
$\frac{2}{3} + \frac{2^2}{3} + \frac{2^3}{3} + \cdots \frac{2^{1000}}{3}$.
Это - сумма геометрической прогрессии, и она равна $\frac{2^{1001} - 2}{3}$. Теперь заменим все ее слагаемые целыми частями. Заметим, что ни одно из этих слагаемых не является целым, а сумма любых двух последовательных слагаемых - целое число (потому что $\frac{s^k}{3} + \frac{2^{k+1}}{3} = \frac{3 \cdot 2^k}{3} = 2^k$). Ясно, что если сумма двух нецелых чисел - целое число, то сумма их целых частей меньше суммы самих чисел на $1 ([\alpha + \beta] = [[\alpha] + {\alpha} + [\beta] + {\beta}] = [\alpha] + [\beta] + [{\alpha} + {\beta}] = [\alpha] + [\beta] + [1] = [\alpha] + [\beta] + 1)$.
Поэтому при замене каждых двух последовательных членов нашей геометрической прогрессии целыми частями сумма уменьшается на 1, а так как в сумме всего 1000 слагаемых, то при замене целыми частями их всех она уменьшится на 500.
Ответ. $\frac{2^{1001} - 2}{3} - 500$.
