Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 193
2014-06-07 
Найти геометрическое место точек М, лежащих внутри равностороннего треугольника ABC и удовлетворяющих условию
$\angle MAB + \angle MBC + \angle MCA =90^{\circ}$.
Решение:
Приведенное в задаче условие выполняется для всех точек, лежащих на высотах правильного треугольника ABC, Например, если $M_{1}$ - точка на высоте, выходящей из вершины А (рис.), то
$\angle M_{1}AB + \angle M_{1}BC + \angle M_{1}CA = \angle M_{1}AB \angle M_{1}BC + \angle M_{1}BA = $
$= \angle M_{1}AB + \angle ABC = 90^{\circ}$
Докажем, что других таких точек нет. Пусть, напротив, условию задачи удовлетворяет точка М, не лежащая ни на одной из высот треугольника. Тогда прямая ВМ пересекает высоты, проведенные из вершин A и С, в некоторых точках $M_{1}$ и $M_{2}$ соответственно. Если бы для всех трех (непременно различных) точек $M, M_{1}, M_{2}$ было выполнено условие задачи, то имели бы место соотношения
$\angle MAM_{1} + \angle MCM_{1}, \angle MAM_{2} + \angle MCM_{2}$.
Но тогда точка $C^{\prime}$, симметричная точке С относительно прямой ВМ, лежала бы как на окружности, описанной около треугольника $AMM_{1}$, так и на окружности, описанной около треугольника $AMM_{2}$. Поэтому обе эти окружности, проходя через три различные точки $A, M, C^{\prime} ( C^{\prime} \neq A$, ибо прямая ВМ не перпендикулярна стороне АС), совпадали бы, что невозможно, так как точки $M, M_{1}, M_{2}$ не могут лежать на одной окружности.
Найти геометрическое место точек М, лежащих внутри равностороннего треугольника ABC и удовлетворяющих условию
$\angle MAB + \angle MBC + \angle MCA =90^{\circ}$.
Решение:
Приведенное в задаче условие выполняется для всех точек, лежащих на высотах правильного треугольника ABC, Например, если $M_{1}$ - точка на высоте, выходящей из вершины А (рис.), то
$\angle M_{1}AB + \angle M_{1}BC + \angle M_{1}CA = \angle M_{1}AB \angle M_{1}BC + \angle M_{1}BA = $
$= \angle M_{1}AB + \angle ABC = 90^{\circ}$
Докажем, что других таких точек нет. Пусть, напротив, условию задачи удовлетворяет точка М, не лежащая ни на одной из высот треугольника. Тогда прямая ВМ пересекает высоты, проведенные из вершин A и С, в некоторых точках $M_{1}$ и $M_{2}$ соответственно. Если бы для всех трех (непременно различных) точек $M, M_{1}, M_{2}$ было выполнено условие задачи, то имели бы место соотношения
$\angle MAM_{1} + \angle MCM_{1}, \angle MAM_{2} + \angle MCM_{2}$.
Но тогда точка $C^{\prime}$, симметричная точке С относительно прямой ВМ, лежала бы как на окружности, описанной около треугольника $AMM_{1}$, так и на окружности, описанной около треугольника $AMM_{2}$. Поэтому обе эти окружности, проходя через три различные точки $A, M, C^{\prime} ( C^{\prime} \neq A$, ибо прямая ВМ не перпендикулярна стороне АС), совпадали бы, что невозможно, так как точки $M, M_{1}, M_{2}$ не могут лежать на одной окружности.
