Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1928
2019-01-22 
На медиане $CD$ треугольника $ABC$ отмечена точка $E$. Окружность $S_1$, проходящая через $E$ и касающаяся прямой $AB$ в точке $A$, пересекает сторону $AC$ в точке $M$. Окружность $S_2$, проходящая через $E$ и касающаяся прямой $AB$ в точке $B$, пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Докажите, что описанная окружность треугольника $CMN$ касается $S_1$ и $S_2$.
Решение:
Пусть окружность $S_1$ вторично пересекает $CD$ в точке $F$. Будем считать для определенности, что $E$ лежит между $D$ и $F$ (возможно, $F = E$). Из равенства $DA^2 = DF \cdot DE$ следует $DB^2 = DF \cdot DE$, а, значит, и окружность $S_2$ проходит через точку $F$ (см. рис.). Теперь, поскольку $CA \cdot CM = CE \cdot CF = CB \cdot CN$, получаем $\frac{CM}{CN} = \frac{CB}{CA}$, откуда $\triangle CMN \sim \triangle CBA, \angle CMN = \angle CBA, \angle CNM = \angle CAB$. Проведем касательную к $S_1$ в точке $M$ и отметим на ней две точки $P$ и $Q$ так, чтобы $P$ оказалось по одну сторону с $B$ от прямой $AC$, а $Q$ - по другую. Очевидно, $\angle PMA = \angle BAM$. Но тогда $\angle QMC = \angle PMA = \angle CAB = \angle CNM$, а это означает, что окружность, проходящая через $C$ и $M$ и касающаяся $S_1$, проходит и через $N$. Аналогично показывается, что окружность, проходящая через $C$ и $N$ и касающаяся $S_2$, проходит и через $M$.
На медиане $CD$ треугольника $ABC$ отмечена точка $E$. Окружность $S_1$, проходящая через $E$ и касающаяся прямой $AB$ в точке $A$, пересекает сторону $AC$ в точке $M$. Окружность $S_2$, проходящая через $E$ и касающаяся прямой $AB$ в точке $B$, пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Докажите, что описанная окружность треугольника $CMN$ касается $S_1$ и $S_2$.
Решение:
Пусть окружность $S_1$ вторично пересекает $CD$ в точке $F$. Будем считать для определенности, что $E$ лежит между $D$ и $F$ (возможно, $F = E$). Из равенства $DA^2 = DF \cdot DE$ следует $DB^2 = DF \cdot DE$, а, значит, и окружность $S_2$ проходит через точку $F$ (см. рис.). Теперь, поскольку $CA \cdot CM = CE \cdot CF = CB \cdot CN$, получаем $\frac{CM}{CN} = \frac{CB}{CA}$, откуда $\triangle CMN \sim \triangle CBA, \angle CMN = \angle CBA, \angle CNM = \angle CAB$. Проведем касательную к $S_1$ в точке $M$ и отметим на ней две точки $P$ и $Q$ так, чтобы $P$ оказалось по одну сторону с $B$ от прямой $AC$, а $Q$ - по другую. Очевидно, $\angle PMA = \angle BAM$. Но тогда $\angle QMC = \angle PMA = \angle CAB = \angle CNM$, а это означает, что окружность, проходящая через $C$ и $M$ и касающаяся $S_1$, проходит и через $N$. Аналогично показывается, что окружность, проходящая через $C$ и $N$ и касающаяся $S_2$, проходит и через $M$.
