ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-01-22   
Пусть $O$ - центр описанной окружности $w$ остроугольного треугольника $ABC$. Окружность $w_1$ с центром $K$ проходит через точки $A, O, C$ и пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$. Известно, что точки $L$ и $K$ симметричны относительно прямой $MN$. Докажите, что $BL \perp AC$.


Решение:


Пусть $M^{\prime}$ и $N^{\prime}$ - точки пересечения серединных перпендикуляров к $BC$ и $AB$ с прямыми $AB$ и $BC$ соответственно. Тогда $\angle ABC = \angle N^{\prime}AB = \angle M^{\prime}CB$, поэтому точки $A, M^{\prime}, C, N^{\prime}$ лежат на одной окружности. Далее, $\angle AM^{\prime}C = \angle ABC + \angle M^{\prime}CA = 2\angle ABC = \angle AOC$, так что $O$ лежит на той же окружности, а тогда эта окружность и есть $w_1,$ и $M = M^{\prime}, N = N^{\prime}$. Теперь, поскольку дуга $\breve{MN}$ этой окружности равна $2\angle ABC$, то симметричная ей относительно $MN$ окружность (с центром $L$) описана около $\triangle BMN$.

Тогда $\angle LBN = \frac{\pi}{2} - \angle BMN = \frac{\pi}{2} - \angle BCA$, что и требовалось.