Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1922
2019-01-22 
Различные числа $a, b$ и $с$ таковы, что уравнения $x^2 + ax +1 =0 и x^2 + bx + с = 0$ имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения $x^2 + x + a = 0$ и $x^2 + cx + b = 0$. Найдите сумму $a + b + с$.
Решение:
Если $x_1^2 + ax_1 + 1 = 0$ и $x_1^2 + bx_1 + c = 0,$ то $(a - b)x_1 + (1 - c) = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{c-1}{a-b}$.
Аналогично, из равенств $x_1^2 + ax_1 + a = 0$ и $x_2^2 + cx_2 + b = 0$ следует $x_2 = \frac{a-b}{c-1}$ (очевидно, $с \neq 1$), т. e. $x_2 = \frac{1}{x_1}$.
С другой стороны, по теореме Виета $\frac{1}{x_1}$ - корень первого уравнения. Значит, $x_2$ - общий корень уравнений $x^2 + ax +1 = 0$ и $x^2 + x + a = 0,$ откуда $(a - 1)(x_2 - 1) = 0$. Но при $a = 1$ эти уравнения не имеют действительных корней. Значит, $x_2 = 1$, тогда $x_1 = 1 \Rightarrow a = -2, b + c = -1$.
Ответ. $a + b + c = -3$.
Различные числа $a, b$ и $с$ таковы, что уравнения $x^2 + ax +1 =0 и x^2 + bx + с = 0$ имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения $x^2 + x + a = 0$ и $x^2 + cx + b = 0$. Найдите сумму $a + b + с$.
Решение:
Если $x_1^2 + ax_1 + 1 = 0$ и $x_1^2 + bx_1 + c = 0,$ то $(a - b)x_1 + (1 - c) = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{c-1}{a-b}$.
Аналогично, из равенств $x_1^2 + ax_1 + a = 0$ и $x_2^2 + cx_2 + b = 0$ следует $x_2 = \frac{a-b}{c-1}$ (очевидно, $с \neq 1$), т. e. $x_2 = \frac{1}{x_1}$.
С другой стороны, по теореме Виета $\frac{1}{x_1}$ - корень первого уравнения. Значит, $x_2$ - общий корень уравнений $x^2 + ax +1 = 0$ и $x^2 + x + a = 0,$ откуда $(a - 1)(x_2 - 1) = 0$. Но при $a = 1$ эти уравнения не имеют действительных корней. Значит, $x_2 = 1$, тогда $x_1 = 1 \Rightarrow a = -2, b + c = -1$.
Ответ. $a + b + c = -3$.
