ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-01-22   
Через вершину $A$ тетраэдра $ABCD$ проведена плоскость, касательная к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости с плоскостями граней $ABC, ACD \: ABD$ образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда $AB \cdot CD = AC \cdot BD = AD \cdot BC$.


Решение:



Проведем плоскость, параллельную касательной плоскости, пересекающую ребра $AB, AC$ и $AD$ в точках $B_1, C_1$ и $D_1$ соответственно. В плоскости $ABC$ получим конфигурацию, изображенную на рис. Заметим, что $\angle ABC = \angle CAM$ (по теореме об угле между касательной и хордой), а $\angle CAM = \angle AC_1B_1$ (как накрест лежащие при параллельных и секущей), т. е. $\angle ABC = \angle AC_1B_1$. Следовательно, $\triangle AB_1C_1 - \triangle ACB$. Откуда

$\frac{B_1C_1}{BC} = \frac{AB_1}{AC} = \frac{AC_1}{AB}$.

Аналогично,

$\frac{C_1D_1}{CD} = \frac{AC_1}{AD} = \frac{AD_1}{AC}$
и $\frac{B_1D_1}{BD} = \frac{AD_1}{AB} = \frac{AB_1}{AD}$.

Из этих равенств вытекает, что

$\frac{C_1D_1}{AB \cdot CD} = \frac{AD_1}{AB \cdot AC} = \frac{B_1D_1}{AC \cdot BD} = \frac{AB_1}{AD \cdot AC} = \frac{B_1C_1}{AD \cdot BC}$.

Значит, $\triangle A_1B_1C_1$ равносторонний тогда и только тогда, когда $AB \cdot CD = AC \cdot BD = AD \cdot BC$.

Осталось заметить, что углы, образуемые указанными в условии линиями пересечения, соответственно равны углам треугольника $A_1B_1C_1$.