Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1919
2019-01-22 
Докажите, что три выпуклых многоугольника на плоскости нельзя пересечь одной прямой тогда и только тогда, когда каждый многоугольник можно отделить от двух других прямой (т. е. существует прямая такая, что этот многоугольник и два остальных лежат по ее разные стороны).
Решение:
Пусть каждый из многоугольников $A, B, C$ можно отделить от двух других. Докажем, что их нельзя пересечь одной прямой. Предположим противное: $X, Y, Z$ - соответственно точки многоугольников $A, B, C$, лежащие на одной прямой. Тогда одна из точек, например $Y$, лежит на прямой между $X$ и $Z$. Следовательно, $B$ нельзя отделить от $A$ и $C$, так как в противном случае точку $Y$, лежащую между двумя другими $X$ и $Z$, нужно отделить от этих точек одной прямой, что невозможно.
В обратную сторону утверждение можно доказать двумя способами. Пусть многоугольники нельзя пересечь одной прямой.
1) Рассмотрим треугольники с вершинами $X \in A, Y \in B, Z \in C$. Пусть из всех таких треугольников наименьшую высоту из вершины $Y$ имеет треугольник $X_oY_oZ_o$ (кстати, почему треугольник с наименьшей высотой существует?). Тогда прямая, перпендикулярная высоте и проходящая через середину высоты, не пересекает многоугольники $B, A$ и $C$, так как, в противном случае, существовал бы треугольник с меньшей высотой, выходящей из $Y_0$.
2) Рассмотрим две внешние касательные к многоугольникам $A$ и $C$. Тогда они не могут пересекать $B$. Если мы сдвинем немного ту, которая лежит ближе к $B$, в направлении к многоугольнику $B$, то получим прямую, отделяющую $B$ от $A$ и $C$.
Докажите, что три выпуклых многоугольника на плоскости нельзя пересечь одной прямой тогда и только тогда, когда каждый многоугольник можно отделить от двух других прямой (т. е. существует прямая такая, что этот многоугольник и два остальных лежат по ее разные стороны).
Решение:
Пусть каждый из многоугольников $A, B, C$ можно отделить от двух других. Докажем, что их нельзя пересечь одной прямой. Предположим противное: $X, Y, Z$ - соответственно точки многоугольников $A, B, C$, лежащие на одной прямой. Тогда одна из точек, например $Y$, лежит на прямой между $X$ и $Z$. Следовательно, $B$ нельзя отделить от $A$ и $C$, так как в противном случае точку $Y$, лежащую между двумя другими $X$ и $Z$, нужно отделить от этих точек одной прямой, что невозможно.
В обратную сторону утверждение можно доказать двумя способами. Пусть многоугольники нельзя пересечь одной прямой.
1) Рассмотрим треугольники с вершинами $X \in A, Y \in B, Z \in C$. Пусть из всех таких треугольников наименьшую высоту из вершины $Y$ имеет треугольник $X_oY_oZ_o$ (кстати, почему треугольник с наименьшей высотой существует?). Тогда прямая, перпендикулярная высоте и проходящая через середину высоты, не пересекает многоугольники $B, A$ и $C$, так как, в противном случае, существовал бы треугольник с меньшей высотой, выходящей из $Y_0$.
2) Рассмотрим две внешние касательные к многоугольникам $A$ и $C$. Тогда они не могут пересекать $B$. Если мы сдвинем немного ту, которая лежит ближе к $B$, в направлении к многоугольнику $B$, то получим прямую, отделяющую $B$ от $A$ и $C$.
