Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1918
2019-01-22 
Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся. Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.
Решение:
Набор натуральных чисел, удовлетворяющий условию задачи, условимся называть хорошим.
Пусть существует хороший набор. Ясно, что если $(a, b, c, d)$ - хороший набор, то и $(\frac{a}{k} , \frac{b}{k} , \frac{c}{k} , \frac{d}{k})$ - тоже хороший набор, где $k =\:НОД(а, b, c, d)$. Поэтому в дальнейшем считаем, что
$\:НОД(а, b, c, d) = 1$. (1)
Пусть одно из данных чисел, например $a$, имеет нечетный простой делитель $p$. Тогда суммы $b + c, c + d, b + d$ и, следовательно, сами числа $b, с$ и $d$ делятся на $p$ (ибо, например, $2d = (b + d) + (c + d) - (b + c))$, что противоречит условию (1). Значит, числа $a, b, c, d$ - степени двойки. Упорядочив данные числа в порядке возрастания, получим $а = 2^m, b = 2^n, c = 2^r, d = 2^s$, где $0 = m \leq n \leq r \leq s, r \geq 1$ ( иначе $m = n = r = 0$, значит, $a = b = c$).
Тогда число $(a + c)^2 = (1 + 2^r)^2$ - нечетно и не может делиться на четное число $bd$. Противоречие.
Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся. Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.
Решение:
Набор натуральных чисел, удовлетворяющий условию задачи, условимся называть хорошим.
Пусть существует хороший набор. Ясно, что если $(a, b, c, d)$ - хороший набор, то и $(\frac{a}{k} , \frac{b}{k} , \frac{c}{k} , \frac{d}{k})$ - тоже хороший набор, где $k =\:НОД(а, b, c, d)$. Поэтому в дальнейшем считаем, что
$\:НОД(а, b, c, d) = 1$. (1)
Пусть одно из данных чисел, например $a$, имеет нечетный простой делитель $p$. Тогда суммы $b + c, c + d, b + d$ и, следовательно, сами числа $b, с$ и $d$ делятся на $p$ (ибо, например, $2d = (b + d) + (c + d) - (b + c))$, что противоречит условию (1). Значит, числа $a, b, c, d$ - степени двойки. Упорядочив данные числа в порядке возрастания, получим $а = 2^m, b = 2^n, c = 2^r, d = 2^s$, где $0 = m \leq n \leq r \leq s, r \geq 1$ ( иначе $m = n = r = 0$, значит, $a = b = c$).
Тогда число $(a + c)^2 = (1 + 2^r)^2$ - нечетно и не может делиться на четное число $bd$. Противоречие.
