Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1917
2019-01-22 
Окружность, вписанная в четырехугольник $ABCD$, касается его сторон $DA, AB, BC, CD$ в точках $K, L, M, N$ соответственно. Пусть $S_1, S_2, S_3, S_4$ - соответственно окружности, вписанные в треугольники $AKL, BLM, CMN, DNK$. К окружностям $S_1$ и $S_2, S_2$ и $S_3, S_3$ и $S_4, S_4$ и $S_1$ проведены общие внешние касательные, отличные от сторон четырехугольника $ABCD$. Докажите, что четырехугольник, образованный этими четырьмя касательными, - ромб.
Решение:
Введем обозначения (см. рис.). Как было показано в решении задачи 1903, $RQ \parallel KM \parallel EF, RE \parallel LN \parallel QF$. Значит, образовавшийся четырехугольник - параллелограмм. Используя то, что касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны и $AB + CD = AD + BC$, получаем $RQ + EF = RE + QF$, так как $(RQ + EF) - (RE + QF) = (a_{12} + a_{34}) - (a_{23} + a_{41})$, где $a_{ij}$ - длина общей внешней касательной к окружностям $S_i$ и $S_j$.
Значит, $RQFE$ - ромб.
Окружность, вписанная в четырехугольник $ABCD$, касается его сторон $DA, AB, BC, CD$ в точках $K, L, M, N$ соответственно. Пусть $S_1, S_2, S_3, S_4$ - соответственно окружности, вписанные в треугольники $AKL, BLM, CMN, DNK$. К окружностям $S_1$ и $S_2, S_2$ и $S_3, S_3$ и $S_4, S_4$ и $S_1$ проведены общие внешние касательные, отличные от сторон четырехугольника $ABCD$. Докажите, что четырехугольник, образованный этими четырьмя касательными, - ромб.
Решение:
Введем обозначения (см. рис.). Как было показано в решении задачи 1903, $RQ \parallel KM \parallel EF, RE \parallel LN \parallel QF$. Значит, образовавшийся четырехугольник - параллелограмм. Используя то, что касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны и $AB + CD = AD + BC$, получаем $RQ + EF = RE + QF$, так как $(RQ + EF) - (RE + QF) = (a_{12} + a_{34}) - (a_{23} + a_{41})$, где $a_{ij}$ - длина общей внешней касательной к окружностям $S_i$ и $S_j$.
Значит, $RQFE$ - ромб.
