Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1913
2019-01-22 
Для некоторых положительных чисел $x$ и $у$ выполняется неравенство $x^2 + у^3 \geq x^3 + у^4$. Докажите, что $x^3 + y^3 \leq 2$.
Решение:
Вначале докажем, что
$x + y^2 \geq x^2 + y^3$ (1).
Допустим противное: $x + у^2 < x^2 + у^3$, тогда, складывая это неравенство с неравенством $x^3 + у^4 \leq x^2 + у^3$, получим $(x + x^3) + (у^2 + у^4) \leq 2x^2 + 2y^3$, что противоречит неравенствам
$x + x^3 \geq 2x^2$ и $у^2 + у^4 \geq 2y^3$.
Из (1) получаем
$x + у^2 \geq x^2 + у^3 \geq x^3 + у^4,$ откуда $2x + 2y^2 \geq x^2 + у^3 + x^3 + у^4$. Замечая, что $(1 + x^2) + (1 + у^4) \geq 2x + 2y^2 \geq x^2 + у^3 + x^3 + у^4$, получаем неравенство $2 + x^2 + у^4 \geq x^2 + у^3 + x^3 + у^4$, равносильное требуемому.
Для некоторых положительных чисел $x$ и $у$ выполняется неравенство $x^2 + у^3 \geq x^3 + у^4$. Докажите, что $x^3 + y^3 \leq 2$.
Решение:
Вначале докажем, что
$x + y^2 \geq x^2 + y^3$ (1).
Допустим противное: $x + у^2 < x^2 + у^3$, тогда, складывая это неравенство с неравенством $x^3 + у^4 \leq x^2 + у^3$, получим $(x + x^3) + (у^2 + у^4) \leq 2x^2 + 2y^3$, что противоречит неравенствам
$x + x^3 \geq 2x^2$ и $у^2 + у^4 \geq 2y^3$.
Из (1) получаем
$x + у^2 \geq x^2 + у^3 \geq x^3 + у^4,$ откуда $2x + 2y^2 \geq x^2 + у^3 + x^3 + у^4$. Замечая, что $(1 + x^2) + (1 + у^4) \geq 2x + 2y^2 \geq x^2 + у^3 + x^3 + у^4$, получаем неравенство $2 + x^2 + у^4 \geq x^2 + у^3 + x^3 + у^4$, равносильное требуемому.
