Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1911
2019-01-22 
Пусть окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB, BC$ и $AC$ в точках $K, L$ и $M$ соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники $BKL, CLM$ и $AKM$, проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника $ABC$. Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.
Решение:
Пусть $O_1, O_2, O_3$ - центры малых окружностей (см. рис.). Так как $\angle KO_1M = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A,$ а $\angle KLM = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A,$ то $\angle КО_1M + \angle KLM = 180^{\circ},$ и $0_1$ является серединой дуги $KM$ вписанной в $\triangle ABC$ окружности. Аналогично $O_2$ и $O_3$ лежат на этой окружности и являются серединами дуг $KL$ и $LM$. Используя результат задачи 1903, заключаем, что построенные касательные проходят через центр окружности, вписанной в треугольник $KLM$, что и требовалось доказать.
Пусть окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB, BC$ и $AC$ в точках $K, L$ и $M$ соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники $BKL, CLM$ и $AKM$, проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника $ABC$. Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.
Решение:
Пусть $O_1, O_2, O_3$ - центры малых окружностей (см. рис.). Так как $\angle KO_1M = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle A,$ а $\angle KLM = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A,$ то $\angle КО_1M + \angle KLM = 180^{\circ},$ и $0_1$ является серединой дуги $KM$ вписанной в $\triangle ABC$ окружности. Аналогично $O_2$ и $O_3$ лежат на этой окружности и являются серединами дуг $KL$ и $LM$. Используя результат задачи 1903, заключаем, что построенные касательные проходят через центр окружности, вписанной в треугольник $KLM$, что и требовалось доказать.
