Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1907
2019-01-22 
Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Окружность, проходящая через вершины $B$ и $C$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$ и первую окружность вторично в точке $F$. Оказалось, что точки $A, E, D, C$ лежат на окружности с центром $O$. Докажите, что угол $BFO$ - прямой.
Решение:
Заметим, что $\angle BCF = 180^{\circ} - \angle BEF = \angle AEF$, аналогично $\angle EAF = \angle FDC$, значит $\triangle AEF \sim \triangle DCF$. Пусть $K$ и $L$ - середины отрезков $AE$ и $CD$ соответственно. Тогда $\angle AKF = \angle FLB$ как углы между медианой и основанием в подобных треугольниках, поэтому точки $B, K, F, L$ лежат на одной окружности. Но, так как серединные перпендикуляры к отрезкам $AE$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, то точки $K$ и $L$ лежат на окружности с диаметром $BO$. Но тогда и точка $F$ лежит на этой окружности, и $\angle BFO$ - прямой.
Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Окружность, проходящая через вершины $B$ и $C$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$ и первую окружность вторично в точке $F$. Оказалось, что точки $A, E, D, C$ лежат на окружности с центром $O$. Докажите, что угол $BFO$ - прямой.
Решение:
Заметим, что $\angle BCF = 180^{\circ} - \angle BEF = \angle AEF$, аналогично $\angle EAF = \angle FDC$, значит $\triangle AEF \sim \triangle DCF$. Пусть $K$ и $L$ - середины отрезков $AE$ и $CD$ соответственно. Тогда $\angle AKF = \angle FLB$ как углы между медианой и основанием в подобных треугольниках, поэтому точки $B, K, F, L$ лежат на одной окружности. Но, так как серединные перпендикуляры к отрезкам $AE$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, то точки $K$ и $L$ лежат на окружности с диаметром $BO$. Но тогда и точка $F$ лежит на этой окружности, и $\angle BFO$ - прямой.
