Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1905
2019-01-22 
Правильный треугольник разбит на правильные треугольники со стороной 1 линиями, параллельными его сторонам и делящими каждую сторону на n частей (на рисунке $n = 5$). Какое наибольшее число отрезков длины 1 с концами в вершинах этих треугольников можно отметить так, чтобы не нашлось треугольника, все стороны которого состоят из отмеченных отрезков?
Решение:
Общее количество отрезков длины $1$ равно $3 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$. Все отрезки, параллельные двум сторонам большого треугольника, не образуют треугольников, так как любой треугольник состоит из отрезков, параллельных всем трем сторонам. Следовательно, $\frac{2}{3} \cdot \left (3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} \right ) = n(n +1)$ отрезков длины $1$ отметить можно.
Докажем, что большее количество отрезков отметить нельзя.
Заштрихуем треугольники со стороной $1$, как показано на рис. Треугольники содержат все отрезки длины $1$, причем каждый отрезок принадлежит ровно одному треугольнику. Для того чтобы не образовался ни один из заштрихованных треугольников, в каждом из них можно отметить не более двух отрезков. Значит, количество выделенных отрезков не превышает $\frac{2}{3}$ от их общего числа.
Ответ. $n(n +1)$.
Правильный треугольник разбит на правильные треугольники со стороной 1 линиями, параллельными его сторонам и делящими каждую сторону на n частей (на рисунке $n = 5$). Какое наибольшее число отрезков длины 1 с концами в вершинах этих треугольников можно отметить так, чтобы не нашлось треугольника, все стороны которого состоят из отмеченных отрезков?
Решение:
Общее количество отрезков длины $1$ равно $3 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$. Все отрезки, параллельные двум сторонам большого треугольника, не образуют треугольников, так как любой треугольник состоит из отрезков, параллельных всем трем сторонам. Следовательно, $\frac{2}{3} \cdot \left (3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} \right ) = n(n +1)$ отрезков длины $1$ отметить можно.
Докажем, что большее количество отрезков отметить нельзя.
Заштрихуем треугольники со стороной $1$, как показано на рис. Треугольники содержат все отрезки длины $1$, причем каждый отрезок принадлежит ровно одному треугольнику. Для того чтобы не образовался ни один из заштрихованных треугольников, в каждом из них можно отметить не более двух отрезков. Значит, количество выделенных отрезков не превышает $\frac{2}{3}$ от их общего числа.
Ответ. $n(n +1)$.
