Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1899
2019-01-21 
В тетраэдр $ABCD$, длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.
Решение:
Рассмотрим множества $M$ центров сфер диаметра $1$, лежащих в данном тетраэдре $T$. Так как $M$ - множество точек, удаленных от всех граней $T$ не менее, чем на $1/2$, то $M$ - это тетраэдр с гранями, параллельными граням тетраэдра $T$, т. е. $M$ и $T$ гомотетичны. Центры вписанных сфер обоих тетраэдров совпадают, поэтому коэффициент $k$ гомотетии равен $\frac{r - 1/2}{r},$ где $r$ - радиус сферы, вписанной в $Т$.
С другой стороны, две сферы единичного диаметра не пересекаются, поэтому расстояние между их центрами не меньше $1$, значит, длина одного из ребер тетраэдра $M$, содержащего эти центры, не меньше $1$. Отсюда следует, что $к \geq \frac{1}{100}$ (длины ребер тетраэдра $Т$ не больше 100), т. е. $1 - \frac{1}{2r} \geq \frac{1}{100}$, откуда $2r \geq \frac{100}{99} > 1,01$. Итак, диаметр сферы, вписанной в $T$, больше 1,01, т. е. в качестве искомой можно выбрать сферу, вписанную в $T$.
В тетраэдр $ABCD$, длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.
Решение:
Рассмотрим множества $M$ центров сфер диаметра $1$, лежащих в данном тетраэдре $T$. Так как $M$ - множество точек, удаленных от всех граней $T$ не менее, чем на $1/2$, то $M$ - это тетраэдр с гранями, параллельными граням тетраэдра $T$, т. е. $M$ и $T$ гомотетичны. Центры вписанных сфер обоих тетраэдров совпадают, поэтому коэффициент $k$ гомотетии равен $\frac{r - 1/2}{r},$ где $r$ - радиус сферы, вписанной в $Т$.
С другой стороны, две сферы единичного диаметра не пересекаются, поэтому расстояние между их центрами не меньше $1$, значит, длина одного из ребер тетраэдра $M$, содержащего эти центры, не меньше $1$. Отсюда следует, что $к \geq \frac{1}{100}$ (длины ребер тетраэдра $Т$ не больше 100), т. е. $1 - \frac{1}{2r} \geq \frac{1}{100}$, откуда $2r \geq \frac{100}{99} > 1,01$. Итак, диаметр сферы, вписанной в $T$, больше 1,01, т. е. в качестве искомой можно выбрать сферу, вписанную в $T$.
