Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1894
2019-01-21 
Дан выпуклый $n$-угольник $(n > 3)$, никакие четыре вершины которого не лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три вершины многоугольника и содержащую внутри себя остальные его вершины, назовем описанной. Описанную окружность назовем граничной, если она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника; описанную окружность назовем внутренней, если она проходит через три вершины, никакие две из которых не являются соседними вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных окружностей на две больше, чем внутренних.
Решение:
Будем говорить, что три вершины $n$-угольника ($n > 3$), через которые проходит описанная окружность, образуют отмеченный треугольник. Докажем, что все отмеченные треугольники образуют триангуляцию многоугольника, т. е. разбиение многоугольника непересекающимися диагоналями на треугольники. Это следует из следующих свойств 1) и 2) отмеченных треугольников.
1) Никакие два отмеченных треугольника не имеют общей внутренней точки. Действительно, если $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ - различные отмеченные треугольники, а $S_1$ и $S_2$ - сооответствующие описанные окружности, то точки $A_1, B_1, C_1$ расположены на дуге окружности $S_1$, лежащей внутри $S_2$, а точки $A_2, B_2, C_2$ - на дуге окружности $S_2$, лежащей внутри $S_1$ (см. рис.) и утверждение очевидно. Рассуждения не меняются, если одна или две вершины наших треугольников совпадают.
2) Если $ABC$ - отмеченный треугольник и $AB$ - диагональ $n$-угольника, то к стороне $AB$ примыкает еще один отмеченный треугольник. В самом деле, рассмотрим вершины $n$-угольника, лежащие с точкой $C$ по разные стороны от $AB$. Среди этих вершин выберем такую вершину $D$, что угол $ADB$ наименьший (из условия, что никакие четыре вершины не лежат на одной окружности, следует единственность такой вершины). Легко понять, что окружность, проходящая через точки $A, B$ и $D$, будет описанной для $n$-угольника, соответственно треугольник $ABD$ отмеченный.
Далее будем называть отмеченный треугольник граничным (соответственно внутренним), если соответствующая описанная окружность граничная (внутренняя). Пусть $Г$ - число граничных треугольников, $B$ - число внутренних, $П$ - число оставшихся отмеченных треугольников (назовем их простыми). Каждая из $n$ сторон $n$-угольника принадлежит одному из треугольников, причем граничным треугольникам принадлежат по две стороны, простым - по одной, а внутренним - ни одной. Отсюда получим соотношение:
$2Г + П = n$. (1)
Так как любая триангуляция состоит из $n - 2$ треугольников, то
$Г + П + В = n - 2$.
Вычитая (2) из (1), получаем $Г - В = 2$, что и требовалось.
Дан выпуклый $n$-угольник $(n > 3)$, никакие четыре вершины которого не лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три вершины многоугольника и содержащую внутри себя остальные его вершины, назовем описанной. Описанную окружность назовем граничной, если она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника; описанную окружность назовем внутренней, если она проходит через три вершины, никакие две из которых не являются соседними вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных окружностей на две больше, чем внутренних.
Решение:
Будем говорить, что три вершины $n$-угольника ($n > 3$), через которые проходит описанная окружность, образуют отмеченный треугольник. Докажем, что все отмеченные треугольники образуют триангуляцию многоугольника, т. е. разбиение многоугольника непересекающимися диагоналями на треугольники. Это следует из следующих свойств 1) и 2) отмеченных треугольников.
1) Никакие два отмеченных треугольника не имеют общей внутренней точки. Действительно, если $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ - различные отмеченные треугольники, а $S_1$ и $S_2$ - сооответствующие описанные окружности, то точки $A_1, B_1, C_1$ расположены на дуге окружности $S_1$, лежащей внутри $S_2$, а точки $A_2, B_2, C_2$ - на дуге окружности $S_2$, лежащей внутри $S_1$ (см. рис.) и утверждение очевидно. Рассуждения не меняются, если одна или две вершины наших треугольников совпадают.
2) Если $ABC$ - отмеченный треугольник и $AB$ - диагональ $n$-угольника, то к стороне $AB$ примыкает еще один отмеченный треугольник. В самом деле, рассмотрим вершины $n$-угольника, лежащие с точкой $C$ по разные стороны от $AB$. Среди этих вершин выберем такую вершину $D$, что угол $ADB$ наименьший (из условия, что никакие четыре вершины не лежат на одной окружности, следует единственность такой вершины). Легко понять, что окружность, проходящая через точки $A, B$ и $D$, будет описанной для $n$-угольника, соответственно треугольник $ABD$ отмеченный.
Далее будем называть отмеченный треугольник граничным (соответственно внутренним), если соответствующая описанная окружность граничная (внутренняя). Пусть $Г$ - число граничных треугольников, $B$ - число внутренних, $П$ - число оставшихся отмеченных треугольников (назовем их простыми). Каждая из $n$ сторон $n$-угольника принадлежит одному из треугольников, причем граничным треугольникам принадлежат по две стороны, простым - по одной, а внутренним - ни одной. Отсюда получим соотношение:
$2Г + П = n$. (1)
Так как любая триангуляция состоит из $n - 2$ треугольников, то
$Г + П + В = n - 2$.
Вычитая (2) из (1), получаем $Г - В = 2$, что и требовалось.
