Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 189
2014-06-07 
Перпендикуляры, проведенные через середины сторон АВ и АС треугольника AВС, пересекают прямую ВС в точках X и Y соответственно. Доказать, что равенство ВС = ХУ: а) выполнено, если
$tg \: \angle B \cdot tg \: \angle C = 3$;
б) может также выполняться и при условии
$tg \: \angle B \cdot tg \: \angle C \neq 3$;
найти множество $M \subset \mathbf{R}$, для которого указанное равенство равносильно условию
$tg \: \angle B \cdot tg \: \angle C \in M$.
Решение:
рис.1
рис.2
В треугольнике ABC обозначим
$\alpha = \angle A, \beta = \angle B, \gamma = \angle C, a=BC, b = AC, c=AB$,
$R$ - радиус описанной окружности. Равенство ВС = ХУ выполнено в том и только в том случае, если $\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{YX}$ или $\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{XY}$, что
в силу равенств
$\left | \overrightarrow{XY} \pm \overrightarrow{BC} \right | = \left | \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CY} \pm \overrightarrow{BC} \right | = \left | - \frac{c}{2 \cos \beta} + a - \frac{b}{2 \cos \gamma} \pm a \right | = R \left | - \frac{\sin \gamma}{\cos \beta} - \frac{\sin \beta}{\cos \gamma} + 2 (1 \pm 1) \sin \alpha \right |$,
равносильно условию
$2(1 \pm 1) \sin \alpha = \frac{\sin \gamma}{\cos \beta} + \frac{\sin \beta}{cos \gamma}$
(знак «плюс» соответствует случаю, изображенному на рис. 1, а знак «минус» - случаю, изображенному на рис. 2), Учитывая, что
$\frac{\sin \gamma}{\cos \beta} + \frac{\sin \beta}{cos \gamma} = \frac{\sin 2 \gamma \cos \gamma + \sin \beta \cos \beta}{\cos \beta \cos \gamma} = \frac{\sin 2 \gamma + \sin 2 beta}{2 \cos \beta \cos \gamma} =$
$= \frac{\sin (\gamma + \beta) \cos (\gamma - \beta)}{\cos \beta \cos \gamma} = \frac{\sin \alpha (\cos \gamma \cos \beta + \sin \gamma \sin \beta)}{\cos \beta \cos \gamma} =$
$=\sin \alpha (1 + tg \: \gamma tg \: \beta)$,
получаем равносильное условие
$2 (1 \pm 1) = 1+ tg \: \gamma tg \: \beta$,
которое выполнено в том и только в том случае, если $tg \: \beta tg \: \gamma = 3$ или $tg \: \beta tg \: \gamma = -1$. Таким образом, М = {-1; 3} и утверждение п. а) доказано, а для доказательства п. б) достаточно заметить, что случай $tg \: \beta tg \: \gamma = -1$
реализуется, например, при $\alpha = \beta =30^{\circ}, \gamma = 120^{\circ}$.
Перпендикуляры, проведенные через середины сторон АВ и АС треугольника AВС, пересекают прямую ВС в точках X и Y соответственно. Доказать, что равенство ВС = ХУ: а) выполнено, если
$tg \: \angle B \cdot tg \: \angle C = 3$;
б) может также выполняться и при условии
$tg \: \angle B \cdot tg \: \angle C \neq 3$;
найти множество $M \subset \mathbf{R}$, для которого указанное равенство равносильно условию
$tg \: \angle B \cdot tg \: \angle C \in M$.
Решение:
рис.1
рис.2
В треугольнике ABC обозначим
$\alpha = \angle A, \beta = \angle B, \gamma = \angle C, a=BC, b = AC, c=AB$,
$R$ - радиус описанной окружности. Равенство ВС = ХУ выполнено в том и только в том случае, если $\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{YX}$ или $\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{XY}$, что
в силу равенств
$\left | \overrightarrow{XY} \pm \overrightarrow{BC} \right | = \left | \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CY} \pm \overrightarrow{BC} \right | = \left | - \frac{c}{2 \cos \beta} + a - \frac{b}{2 \cos \gamma} \pm a \right | = R \left | - \frac{\sin \gamma}{\cos \beta} - \frac{\sin \beta}{\cos \gamma} + 2 (1 \pm 1) \sin \alpha \right |$,
равносильно условию
$2(1 \pm 1) \sin \alpha = \frac{\sin \gamma}{\cos \beta} + \frac{\sin \beta}{cos \gamma}$
(знак «плюс» соответствует случаю, изображенному на рис. 1, а знак «минус» - случаю, изображенному на рис. 2), Учитывая, что
$\frac{\sin \gamma}{\cos \beta} + \frac{\sin \beta}{cos \gamma} = \frac{\sin 2 \gamma \cos \gamma + \sin \beta \cos \beta}{\cos \beta \cos \gamma} = \frac{\sin 2 \gamma + \sin 2 beta}{2 \cos \beta \cos \gamma} =$
$= \frac{\sin (\gamma + \beta) \cos (\gamma - \beta)}{\cos \beta \cos \gamma} = \frac{\sin \alpha (\cos \gamma \cos \beta + \sin \gamma \sin \beta)}{\cos \beta \cos \gamma} =$
$=\sin \alpha (1 + tg \: \gamma tg \: \beta)$,
получаем равносильное условие
$2 (1 \pm 1) = 1+ tg \: \gamma tg \: \beta$,
которое выполнено в том и только в том случае, если $tg \: \beta tg \: \gamma = 3$ или $tg \: \beta tg \: \gamma = -1$. Таким образом, М = {-1; 3} и утверждение п. а) доказано, а для доказательства п. б) достаточно заметить, что случай $tg \: \beta tg \: \gamma = -1$
реализуется, например, при $\alpha = \beta =30^{\circ}, \gamma = 120^{\circ}$.
