Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1889
2019-01-21 
Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше 1, расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше, чем $ \frac {1}{ \sqrt {2}}$. Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.
Решение:
Обозначим через $F_1$ и $F_2$ данные многоугольники. Предположим, что они имеют общую внутреннюю точку. Возможны два случая.
1) Один многоугольник содержится внутри другого, скажем, $F_1$ лежит внутри $F_2$. Пусть $A$ - одна из вершин $F_1$. Тогда, как легко видеть, найдутся три вершины $P, Q, R$ многоугольника $F_2$ такие, что треугольник $PQR$ содержит $A$ (случай, когда $A$ лежит на стороне треугольника $PQR$, легко приводит к противоречию). При этом хотя бы один из углов $PAQ, QAR, RAP$ больше $90^{\circ}$. Пусть, для определенности, $\angle PAQ \geq ^{\circ}$. Тогда имеем: $1 \geq PQ_2 \geq AP^2 + AQ^2$. Получаем, что, вопреки условию, один из отрезков $АР$ и $AQ$ не больше $\frac{1}{ \sqrt{2}}$ - противоречие.
2) Сторона одного многоугольника пересекает сторону другого. Пусть, например, сторона $AB$ многоугольника $F_1$ пересекает сторону $PQ$ многоугольника $F_2$. Пусть $APBQ$ - выпуклый четырехугольник (случай, когда среди точек $A, B, P, Q$ найдутся три, лежащие на одной прямой, легко рассматривается). Хотя бы один из его углов, скажем, $PAQ$, не меньше $90^{\circ}$. Тогда $1 \geq PQ^2 \geq AP^2 + AQ^2$, следовательно, один из отрезков $AP$ и $AQ$ не больше $\frac{1}{ \sqrt{2}}$. Получаем противоречие.
Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше 1, расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше, чем $ \frac {1}{ \sqrt {2}}$. Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.
Решение:
Обозначим через $F_1$ и $F_2$ данные многоугольники. Предположим, что они имеют общую внутреннюю точку. Возможны два случая.
1) Один многоугольник содержится внутри другого, скажем, $F_1$ лежит внутри $F_2$. Пусть $A$ - одна из вершин $F_1$. Тогда, как легко видеть, найдутся три вершины $P, Q, R$ многоугольника $F_2$ такие, что треугольник $PQR$ содержит $A$ (случай, когда $A$ лежит на стороне треугольника $PQR$, легко приводит к противоречию). При этом хотя бы один из углов $PAQ, QAR, RAP$ больше $90^{\circ}$. Пусть, для определенности, $\angle PAQ \geq ^{\circ}$. Тогда имеем: $1 \geq PQ_2 \geq AP^2 + AQ^2$. Получаем, что, вопреки условию, один из отрезков $АР$ и $AQ$ не больше $\frac{1}{ \sqrt{2}}$ - противоречие.
2) Сторона одного многоугольника пересекает сторону другого. Пусть, например, сторона $AB$ многоугольника $F_1$ пересекает сторону $PQ$ многоугольника $F_2$. Пусть $APBQ$ - выпуклый четырехугольник (случай, когда среди точек $A, B, P, Q$ найдутся три, лежащие на одной прямой, легко рассматривается). Хотя бы один из его углов, скажем, $PAQ$, не меньше $90^{\circ}$. Тогда $1 \geq PQ^2 \geq AP^2 + AQ^2$, следовательно, один из отрезков $AP$ и $AQ$ не больше $\frac{1}{ \sqrt{2}}$. Получаем противоречие.
