Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1885
2019-01-21 
В треугольнике $ABC ( AB > BC)$ проведены медиана $BM$ и биссектриса $BL$. Прямая, проходящая через точку $M$ параллельно $AB$, пересекает $BL$ в точке $D$, а прямая, проходящая через $L$ параллельно $BC$, пересекает $BM$ в точке $E$. Докажите, что прямые $ED$ и $BL$ перпендикулярны.
Решение:
Проведем через точку $E$ прямую, параллельную $AB$. Пусть она пересекает $BL$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Поскольку $QE$ и $EL$ параллельны сторонам $AB$ и $BC$ соответственно, то по теореме Фалеса $\frac{MQ}{MA} = \frac{ME}{MB} = \frac{ML}{MC}$, поэтому $\frac{MQ}{ML} = \frac{MA}{MC} = 1$. Аналогично, поскольку $MD \parallel PQ,$ то $\frac{MQ}{ML} = \frac{DP}{DL} = 1$, т.е. $ED$ - это медиана в треугольнике $PEL$. Однако из параллельности $EP$ и $EL$ сторонам $AB$ и $BC$ соответственно следует равенство углов: $\angle EPL = \angle ABL, \angle ELP = \angle LBC,$ но $\angle ABL = \angle LBC$, поэтому $\angle EPL = \angle ELP$. Тем самым, треугольник $LEP$ - равнобедренный, и медиана $ED$ является высотой, что и требовалось.
В треугольнике $ABC ( AB > BC)$ проведены медиана $BM$ и биссектриса $BL$. Прямая, проходящая через точку $M$ параллельно $AB$, пересекает $BL$ в точке $D$, а прямая, проходящая через $L$ параллельно $BC$, пересекает $BM$ в точке $E$. Докажите, что прямые $ED$ и $BL$ перпендикулярны.
Решение:
Проведем через точку $E$ прямую, параллельную $AB$. Пусть она пересекает $BL$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Поскольку $QE$ и $EL$ параллельны сторонам $AB$ и $BC$ соответственно, то по теореме Фалеса $\frac{MQ}{MA} = \frac{ME}{MB} = \frac{ML}{MC}$, поэтому $\frac{MQ}{ML} = \frac{MA}{MC} = 1$. Аналогично, поскольку $MD \parallel PQ,$ то $\frac{MQ}{ML} = \frac{DP}{DL} = 1$, т.е. $ED$ - это медиана в треугольнике $PEL$. Однако из параллельности $EP$ и $EL$ сторонам $AB$ и $BC$ соответственно следует равенство углов: $\angle EPL = \angle ABL, \angle ELP = \angle LBC,$ но $\angle ABL = \angle LBC$, поэтому $\angle EPL = \angle ELP$. Тем самым, треугольник $LEP$ - равнобедренный, и медиана $ED$ является высотой, что и требовалось.
