Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1884
2019-01-21 
На столе лежат 5 часов со стрелками. Разрешается любые несколько из них перевести вперед. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовем временем перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?
Решение:
Отметим на одном циферблате положения часовых стрелок всех часов. Циферблат разобьется на 5 секторов. Занумеруем их по кругу (см. рис.). Пусть часовая стрелка проходит секторы за время $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ соответственно (некоторые из этих чисел, возможно, нулевые). Заметим, что если мы станем устанавливать на всех часах время, соответствующее положению внутри сектора, то каждая часовая стрелка пройдет через начало сектора. Это значит, что суммарное время перевода окажется заведомо больше, чем если бы мы устанавливали все часы на начало сектора.
Обозначим через $S_i$ суммарное время, необходимое для установки всех часов на начало $i$-го сектора. Ясно, что время перевода отдельной стрелки является суммой некоторых $x_j$. Например, время перевода на начало первого сектора равно $x_5$ для пятых часов и $x_2 + x_3 + x_4 + x_5$ для вторых. Тогда
$S_1 = (x_2 +x_3 +x_4 + x_5) + (x_3 + x_4 + x_5) + (x_4 +x_5) + x_5 = x_2 + 2x_3 + 3x_4 + 4x_5$.
Остальные $S_i$ выражаются аналогично. Тогда
$S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = (1 + 2 + 3 + 4)(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) = 10 \cdot 12 = 120$ часов.
Поэтому наименьшая сумма не превосходит $120 / 5 = 24$ часа. С другой стороны, если все секторы одинаковы (например, часы показывают 12 ч, 2 ч 24 мин, 4 ч 48 мин, 7 ч 12 мин и 9 ч 36 мин), то все $S_i$ равны 24 часам, поэтому менее, чем 24 часами не обойтись.
Ответ. За 24 часа.
На столе лежат 5 часов со стрелками. Разрешается любые несколько из них перевести вперед. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовем временем перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?
Решение:
Отметим на одном циферблате положения часовых стрелок всех часов. Циферблат разобьется на 5 секторов. Занумеруем их по кругу (см. рис.). Пусть часовая стрелка проходит секторы за время $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ соответственно (некоторые из этих чисел, возможно, нулевые). Заметим, что если мы станем устанавливать на всех часах время, соответствующее положению внутри сектора, то каждая часовая стрелка пройдет через начало сектора. Это значит, что суммарное время перевода окажется заведомо больше, чем если бы мы устанавливали все часы на начало сектора.
Обозначим через $S_i$ суммарное время, необходимое для установки всех часов на начало $i$-го сектора. Ясно, что время перевода отдельной стрелки является суммой некоторых $x_j$. Например, время перевода на начало первого сектора равно $x_5$ для пятых часов и $x_2 + x_3 + x_4 + x_5$ для вторых. Тогда
$S_1 = (x_2 +x_3 +x_4 + x_5) + (x_3 + x_4 + x_5) + (x_4 +x_5) + x_5 = x_2 + 2x_3 + 3x_4 + 4x_5$.
Остальные $S_i$ выражаются аналогично. Тогда
$S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = (1 + 2 + 3 + 4)(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) = 10 \cdot 12 = 120$ часов.
Поэтому наименьшая сумма не превосходит $120 / 5 = 24$ часа. С другой стороны, если все секторы одинаковы (например, часы показывают 12 ч, 2 ч 24 мин, 4 ч 48 мин, 7 ч 12 мин и 9 ч 36 мин), то все $S_i$ равны 24 часам, поэтому менее, чем 24 часами не обойтись.
Ответ. За 24 часа.
