Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1881
2019-01-21 
Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех.
Решение:
Отметим углы параллелограммов, являющиеся частью углов многоугольника. Пусть в многоугольнике $n$ сторон. Тогда сумма отмеченных углов равна $180^{\circ} \cdot (n - 2)$. К каждой стороне многоугольника примыкают стороной по два отмеченных угла (см. рис.), их сумма, очевидно, не менее $180^{\circ}$. Просуммировав такие пары по всем сторонам, получим не менее $180^{\circ} \cdot n$, т. е., по крайней мере на $360^{\circ}$ больше, чем при подсчете другим способом. Избыток возникает за счет того, что некоторые углы посчитаны дважды, а именно те, которые примыкают сразу к двум сторонам. Поскольку каждый такой угол меньше $180^{\circ}$, то таких углов не менее трех. Но вершины таких углов как раз и являются хорошими вершинами многоугольника.
Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех.
Решение:
Отметим углы параллелограммов, являющиеся частью углов многоугольника. Пусть в многоугольнике $n$ сторон. Тогда сумма отмеченных углов равна $180^{\circ} \cdot (n - 2)$. К каждой стороне многоугольника примыкают стороной по два отмеченных угла (см. рис.), их сумма, очевидно, не менее $180^{\circ}$. Просуммировав такие пары по всем сторонам, получим не менее $180^{\circ} \cdot n$, т. е., по крайней мере на $360^{\circ}$ больше, чем при подсчете другим способом. Избыток возникает за счет того, что некоторые углы посчитаны дважды, а именно те, которые примыкают сразу к двум сторонам. Поскольку каждый такой угол меньше $180^{\circ}$, то таких углов не менее трех. Но вершины таких углов как раз и являются хорошими вершинами многоугольника.
