Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 188
2014-06-07 
Найти хотя бы один прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами, каждый угол которого можно разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки.
Решение:
Выберем угол $\alpha$, удовлетворяющий условиям $6 \alpha < 90^{\circ}$ и $tg \: \alpha \in \mathbf{Q}$ (годится, например, значение $tg \: \alpha = 1/4$). Тогда каждое из чисел
$tg \: 2 \alpha = \frac{2 tg \: \alpha}{1 – tg^{2} \: \alpha}, tg \: 3 \alpha = \frac{tg \: 2 \alpha + tg \: \alpha}{1 – tg \: 2 \alpha tg \: \alpha}$,
$\cos 2 \alpha = \frac{1 – tg^{2} \: \alpha}{1 + tg^{2} \: \alpha}, \sin 2 \alpha = \frac{2 tg \: \alpha}{1 + tg^{2} \: \alpha}$,
$\cos 6 \alpha = \frac{1 – tg^{2} \: 3 \alpha }{1 + tg^{2} \: 3 \alpha},\sin 6 \alpha = \frac{2 tg \: 3 \alpha }{1 + tg^{2} \: 3 \alpha}$
является рациональным. Поэтому у прямоугольного треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$, удовлетворяющего условиям
$\angle C_{1} = 90^{\circ} , \angle A_{1}=6 \alpha, A_{1}C_{1} = \cos 6 \alpha, A_{1}B_{1}=1, B_{1}C_{1}= \sin 6 \alpha$,
длины всех сторон рациональны, следовательно, он подобен некоторому треугольнику ABC с целочисленными сторонами (например, при $tg \: \alpha = 1/4$ стороны треугольника ABC могут быть равны $AB = 4913, AC=495, BC=4888$). С другой стороны, у прямоугольного треугольника $A_{2}B_{2}C_{2}$, удовлетворяющего условиям
$\angle C_{2} = 90^{\circ} , \angle A_{2}=2 \alpha, A_{2}C_{2} = \cos 2 \alpha, A_{2}B_{2}=1, B_{2}C_{2}= \sin 2 \alpha$,
длины всех сторон также рациональны. Поэтому можно построить с помощью циркуля и линейки угол $2 \alpha = (1/3) \angle A_{1}$, т. е. разделить на три равные части угол А треугольника ABC. Поскольку угол, равный $30^{\circ}$, также можно построить и
$\frac{1}{3} \angle B = \frac{1}{3} ( \angle C - \angle A) = 30^{\circ} – 2 \alpha$,
то каждый угол треугольника ABC можно разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки. Итак, треугольник ABC удовлетворяет требованиям задачи.
Найти хотя бы один прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами, каждый угол которого можно разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки.
Решение:
Выберем угол $\alpha$, удовлетворяющий условиям $6 \alpha < 90^{\circ}$ и $tg \: \alpha \in \mathbf{Q}$ (годится, например, значение $tg \: \alpha = 1/4$). Тогда каждое из чисел
$tg \: 2 \alpha = \frac{2 tg \: \alpha}{1 – tg^{2} \: \alpha}, tg \: 3 \alpha = \frac{tg \: 2 \alpha + tg \: \alpha}{1 – tg \: 2 \alpha tg \: \alpha}$,
$\cos 2 \alpha = \frac{1 – tg^{2} \: \alpha}{1 + tg^{2} \: \alpha}, \sin 2 \alpha = \frac{2 tg \: \alpha}{1 + tg^{2} \: \alpha}$,
$\cos 6 \alpha = \frac{1 – tg^{2} \: 3 \alpha }{1 + tg^{2} \: 3 \alpha},\sin 6 \alpha = \frac{2 tg \: 3 \alpha }{1 + tg^{2} \: 3 \alpha}$
является рациональным. Поэтому у прямоугольного треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$, удовлетворяющего условиям
$\angle C_{1} = 90^{\circ} , \angle A_{1}=6 \alpha, A_{1}C_{1} = \cos 6 \alpha, A_{1}B_{1}=1, B_{1}C_{1}= \sin 6 \alpha$,
длины всех сторон рациональны, следовательно, он подобен некоторому треугольнику ABC с целочисленными сторонами (например, при $tg \: \alpha = 1/4$ стороны треугольника ABC могут быть равны $AB = 4913, AC=495, BC=4888$). С другой стороны, у прямоугольного треугольника $A_{2}B_{2}C_{2}$, удовлетворяющего условиям
$\angle C_{2} = 90^{\circ} , \angle A_{2}=2 \alpha, A_{2}C_{2} = \cos 2 \alpha, A_{2}B_{2}=1, B_{2}C_{2}= \sin 2 \alpha$,
длины всех сторон также рациональны. Поэтому можно построить с помощью циркуля и линейки угол $2 \alpha = (1/3) \angle A_{1}$, т. е. разделить на три равные части угол А треугольника ABC. Поскольку угол, равный $30^{\circ}$, также можно построить и
$\frac{1}{3} \angle B = \frac{1}{3} ( \angle C - \angle A) = 30^{\circ} – 2 \alpha$,
то каждый угол треугольника ABC можно разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки. Итак, треугольник ABC удовлетворяет требованиям задачи.
