Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1877
2019-01-21 
Даны многоугольник, прямая $l$ и точка $P$ на прямой $l$ в общем положении (т. е. все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают $l$ в различных точках, отличных от $P$). Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из нее стороны многоугольника, пересекают $l$ по разные стороны от точки $P$. Докажите, что точка $P$ лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от $l$ отмечено нечетное число вершин.
Решение:
Для каждой из вершин многоугольника, лежащих по одну сторону от $l$, отметим отрезок, высекаемый на $l$ прямыми, на которых лежат выходящие из нее стороны. Тогда условие задачи означает, что точка $P$ лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда она принадлежит нечетному числу отмеченных отрезков.
Но каждая из точек пересечения $l$ со сторонами многоугольника будет концом ровно одного из отмеченных отрезков, а каждая из точек пересечения $l$ с продолжением стороны многоугольника (лежащей по нужную сторону от $l$) - концом ровно двух отмеченных отрезков.
Следовательно, при движении точки $P$ по прямой $l$ четность количества содержащих ее отмеченных отрезков изменяется при каждом пересечении границы многоугольника. Осталось заметить, что, когда $P$ расположена так, что все точки пересечения прямых с $l$ находятся по одну сторону от нее, количество покрывающих ее отрезков равно нулю, и она лежит вне многоугольника. Отсюда и следует утверждение задачи.
Даны многоугольник, прямая $l$ и точка $P$ на прямой $l$ в общем положении (т. е. все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают $l$ в различных точках, отличных от $P$). Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из нее стороны многоугольника, пересекают $l$ по разные стороны от точки $P$. Докажите, что точка $P$ лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от $l$ отмечено нечетное число вершин.
Решение:
Для каждой из вершин многоугольника, лежащих по одну сторону от $l$, отметим отрезок, высекаемый на $l$ прямыми, на которых лежат выходящие из нее стороны. Тогда условие задачи означает, что точка $P$ лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда она принадлежит нечетному числу отмеченных отрезков.
Но каждая из точек пересечения $l$ со сторонами многоугольника будет концом ровно одного из отмеченных отрезков, а каждая из точек пересечения $l$ с продолжением стороны многоугольника (лежащей по нужную сторону от $l$) - концом ровно двух отмеченных отрезков.
Следовательно, при движении точки $P$ по прямой $l$ четность количества содержащих ее отмеченных отрезков изменяется при каждом пересечении границы многоугольника. Осталось заметить, что, когда $P$ расположена так, что все точки пересечения прямых с $l$ находятся по одну сторону от нее, количество покрывающих ее отрезков равно нулю, и она лежит вне многоугольника. Отсюда и следует утверждение задачи.
