Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1876
2019-01-21 
Рассматриваются всевозможные квадратные трехчлены вида $x^2 + px + q,$ где $p, q$ - целые, $1 \leq p \leq 1997, 1 \leq q \leq 1997$. Каких трехчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?
Решение:
Пусть $m \leq n$ - целые корни уравнения $x^2 + ax + b = 0$. Тогда $m + n = -a, mn = b$, следовательно, $m, n < 0, 0 < mn \leq 1997, |n| \leq |m| \leq 1997$. Рассмотрим уравнение $x^2 - nx + mn = 0$. Его коэффициенты - целые числа от 1 до 1997, т. е. оно принадлежит рассматриваемому множеству, но не имеет корней, так как $D = n^2 - 4mn = n(n - 4m) < 0$. Итак, любому уравнению с целыми корнями мы поставили в соответствие уравнение, не имеющее корней; при этом разным уравнениям сопоставлены разные. Кроме того, уравнения $x^2 + cx + d,$ где $с$ четно, $d$ нечетно и $D < 0$, не представимы в виде $x^2 - nx + mn = 0$. Значит, уравнений, не имеющих корней, больше.
Ответ. Трехчленов, не имеющих корней, больше.
Рассматриваются всевозможные квадратные трехчлены вида $x^2 + px + q,$ где $p, q$ - целые, $1 \leq p \leq 1997, 1 \leq q \leq 1997$. Каких трехчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?
Решение:
Пусть $m \leq n$ - целые корни уравнения $x^2 + ax + b = 0$. Тогда $m + n = -a, mn = b$, следовательно, $m, n < 0, 0 < mn \leq 1997, |n| \leq |m| \leq 1997$. Рассмотрим уравнение $x^2 - nx + mn = 0$. Его коэффициенты - целые числа от 1 до 1997, т. е. оно принадлежит рассматриваемому множеству, но не имеет корней, так как $D = n^2 - 4mn = n(n - 4m) < 0$. Итак, любому уравнению с целыми корнями мы поставили в соответствие уравнение, не имеющее корней; при этом разным уравнениям сопоставлены разные. Кроме того, уравнения $x^2 + cx + d,$ где $с$ четно, $d$ нечетно и $D < 0$, не представимы в виде $x^2 - nx + mn = 0$. Значит, уравнений, не имеющих корней, больше.
Ответ. Трехчленов, не имеющих корней, больше.
