Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1870
2019-01-21 
Существуют ли два квадратных трехчлена $ax^2 + bx + с$ и $(a + 1)x^2 + (b + 1)x + (c +1)$ с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?
Решение:
Предположим противное. Если у многочлена $kx^2 + lx + m$ с целыми коэффициентами два целых корня $x_1$ и $x_2$, то $m$ и $l$ делятся на $k$, потому что $x_1x_2 = \frac{m}{k},$ а $x_1 + x_2 = -\frac{l}{k}$. Из чисел $а$ и $а + 1$ одно четное. Без потери общности можно считать, что четное - $a$. Тогда $b$ и $с$ тоже четные. Отсюда $(b +1)$ и $(с +1)$ нечетные. Пусть $y_1$ и $y_2$ - целые корни уравнения $(а + 1)x^2 + (6 + 1)x + (с + 1)$. Тогда $y_1y_2 = \frac{c+1}{a+1}$ и $y_1 + y_2 = -\frac{b+1}{a+1}$ нечетные числа. Получили противоречие: сумма и произведение двух целых чисел не могут одновременно быть нечетными.
Ответ. Не существуют.
Существуют ли два квадратных трехчлена $ax^2 + bx + с$ и $(a + 1)x^2 + (b + 1)x + (c +1)$ с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня?
Решение:
Предположим противное. Если у многочлена $kx^2 + lx + m$ с целыми коэффициентами два целых корня $x_1$ и $x_2$, то $m$ и $l$ делятся на $k$, потому что $x_1x_2 = \frac{m}{k},$ а $x_1 + x_2 = -\frac{l}{k}$. Из чисел $а$ и $а + 1$ одно четное. Без потери общности можно считать, что четное - $a$. Тогда $b$ и $с$ тоже четные. Отсюда $(b +1)$ и $(с +1)$ нечетные. Пусть $y_1$ и $y_2$ - целые корни уравнения $(а + 1)x^2 + (6 + 1)x + (с + 1)$. Тогда $y_1y_2 = \frac{c+1}{a+1}$ и $y_1 + y_2 = -\frac{b+1}{a+1}$ нечетные числа. Получили противоречие: сумма и произведение двух целых чисел не могут одновременно быть нечетными.
Ответ. Не существуют.
