Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 187
2014-06-07 
Найти все пары положительных чисел $a, b \in \mathbf{R}$, для которых существуют прямоугольный треугольник CDE и точки A, В на его гипотенузе DE, удовлетворяющие условиям $\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BE}$ и $AC = a, BC = b$.
Решение:
Обозначим $\overrightarrow{CA} = \mathbf{x},\overrightarrow{CB} = \mathbf{y}$ тогда (рис.)
$\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} = \mathbf{y}- \mathbf{x}, \overrightarrow{CE}= 2\mathbf{y} - \mathbf{x}, \overrightarrow{CD} = 2\mathbf{x} - \mathbf{y}$
а условие $CD \perp CE$ равносильно равенству
$(2\mathbf{x} - \mathbf{y})(2\mathbf{y} - \mathbf{x}) = 0$, или $5(\mathbf{x} - \mathbf{y})^{2} = \mathbf{x}^{2} + \mathbf{y}^{2}$.
Последнее условие означает, что стороны $BC = a, AC = b, AB = c$ треугольника АВС удовлетворяют равенству $5c^{2}=a^{2} + b^{2}$, Такой треугольник существует при тех и только тех значениях a, b, при которых выполнены неравенства треугольника
$|a-b| < \sqrt{(a^{2}+b^{2})/5} < a+b$,
т.е.
$5(a-b)^{2} < a^{2} + b^{2} < 5 (a+b)^{2}$
Правое неравенство выполнено при всех a, b > 0, а левое равносильно условию $(2a - b) (2b - a) > 0$. Таким образом, получаем ответ: $1/2 < a/b < 2$.
Найти все пары положительных чисел $a, b \in \mathbf{R}$, для которых существуют прямоугольный треугольник CDE и точки A, В на его гипотенузе DE, удовлетворяющие условиям $\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BE}$ и $AC = a, BC = b$.
Решение:
Обозначим $\overrightarrow{CA} = \mathbf{x},\overrightarrow{CB} = \mathbf{y}$ тогда (рис.)
$\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} = \mathbf{y}- \mathbf{x}, \overrightarrow{CE}= 2\mathbf{y} - \mathbf{x}, \overrightarrow{CD} = 2\mathbf{x} - \mathbf{y}$
а условие $CD \perp CE$ равносильно равенству
$(2\mathbf{x} - \mathbf{y})(2\mathbf{y} - \mathbf{x}) = 0$, или $5(\mathbf{x} - \mathbf{y})^{2} = \mathbf{x}^{2} + \mathbf{y}^{2}$.
Последнее условие означает, что стороны $BC = a, AC = b, AB = c$ треугольника АВС удовлетворяют равенству $5c^{2}=a^{2} + b^{2}$, Такой треугольник существует при тех и только тех значениях a, b, при которых выполнены неравенства треугольника
$|a-b| < \sqrt{(a^{2}+b^{2})/5} < a+b$,
т.е.
$5(a-b)^{2} < a^{2} + b^{2} < 5 (a+b)^{2}$
Правое неравенство выполнено при всех a, b > 0, а левое равносильно условию $(2a - b) (2b - a) > 0$. Таким образом, получаем ответ: $1/2 < a/b < 2$.
