Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1867
2019-01-21 
Квадрат $n \times n (n \geq 3)$ склеен в цилиндр. Часть клеток покрашена в черный цвет. Докажите, что найдутся две параллельных линии (две горизонтали, две вертикали или две диагонали), содержащие одинаковое количество черных клеток.
Решение:
Докажем утверждение от противного. Пусть есть раскраска, при которой отсутствует пара параллельных линий с одинаковым числом черных клеток. Будем называть весом линии количество черных клеток на ней. Пусть есть горизонталь веса $n$. Тогда $n$ вертикалей и $n$ диагоналей каждого направления должны иметь веса $1, 2, \cdots, n$, так как все они пересекают эту горизонталь. Тогда $n$ горизонталей имеют веса $1, 2, \cdots, n$, так как все они пересекают вертикаль веса $n$.
Циклически переставим горизонтали и вертикали так, чтобы нижняя горизонталь и левая вертикаль имели вес $n$ (свойства раскраски при этом не изменятся). Пронумеруем горизонтали снизу вверх от 0 до $n - 1$, а вертикали - от 0 до $n - 1$ слева направо.
Каждая диагональ пересекает по разу горизонталь и вертикаль веса $n$; поэтому диагонали веса 1 должны проходить через клетку их пересечения - клетку $(0,0)$. Итак, все клетки $(i, i)$ и $(n - i, i), i > 0$, не закрашены.
Если $n$ нечетно, то в каждом столбце, кроме 0, получаем не менее двух незакрашенных клеток, и столбца веса $n - 1$ не найдется.
Если $n = 2m$, то столбец $m$ и строка $m$ должны иметь вес $n - 1$ (в любой из остальных строк и любом из остальных столбцов есть хотя бы две незакрашенные клетки). Тогда в них закрашены все клетки, кроме $(m, m)$, и мы не сможем найти столбца веса $1$.
Если с самого начала отсутствует горизонталь веса $n$, то есть горизонталь веса $0$, и мы можем провести те же рассуждения, поменяв ролями закрашенные и незакрашенные клетки.
Квадрат $n \times n (n \geq 3)$ склеен в цилиндр. Часть клеток покрашена в черный цвет. Докажите, что найдутся две параллельных линии (две горизонтали, две вертикали или две диагонали), содержащие одинаковое количество черных клеток.
Решение:
Докажем утверждение от противного. Пусть есть раскраска, при которой отсутствует пара параллельных линий с одинаковым числом черных клеток. Будем называть весом линии количество черных клеток на ней. Пусть есть горизонталь веса $n$. Тогда $n$ вертикалей и $n$ диагоналей каждого направления должны иметь веса $1, 2, \cdots, n$, так как все они пересекают эту горизонталь. Тогда $n$ горизонталей имеют веса $1, 2, \cdots, n$, так как все они пересекают вертикаль веса $n$.
Циклически переставим горизонтали и вертикали так, чтобы нижняя горизонталь и левая вертикаль имели вес $n$ (свойства раскраски при этом не изменятся). Пронумеруем горизонтали снизу вверх от 0 до $n - 1$, а вертикали - от 0 до $n - 1$ слева направо.
Каждая диагональ пересекает по разу горизонталь и вертикаль веса $n$; поэтому диагонали веса 1 должны проходить через клетку их пересечения - клетку $(0,0)$. Итак, все клетки $(i, i)$ и $(n - i, i), i > 0$, не закрашены.
Если $n$ нечетно, то в каждом столбце, кроме 0, получаем не менее двух незакрашенных клеток, и столбца веса $n - 1$ не найдется.
Если $n = 2m$, то столбец $m$ и строка $m$ должны иметь вес $n - 1$ (в любой из остальных строк и любом из остальных столбцов есть хотя бы две незакрашенные клетки). Тогда в них закрашены все клетки, кроме $(m, m)$, и мы не сможем найти столбца веса $1$.
Если с самого начала отсутствует горизонталь веса $n$, то есть горизонталь веса $0$, и мы можем провести те же рассуждения, поменяв ролями закрашенные и незакрашенные клетки.
