Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1866
2019-01-21 
Решите в целых числах уравнение $(x^2 - у^2)^2 = 1 + 16y$.
Решение:
Правая часть неотрицательна, так как равна квадрату, следовательно, $у \geq 0$, откуда левая часть не меньше $(2y - 1)^2$, так как модуль разности $у^2$ и любого квадрата целого числа (если $у \geq 0$ и квадраты различны) не меньше $|2y - 1|$. Имеем $(2y - 1)^2 \leq 1 + 16y$, откуда $у \leq 5$. Итак, правая часть может принимать значения $1, 17, 33, 49, 65, 81$, из них квадратами являются только $1, 49, 81$.
Рассмотрим 3 случая:
1) $\begin{cases} y = 0 \\ {x^2}^2 = 1 \end{cases}$, откуда $\begin{cases} x = \pm 1 \\ y = 0 \end{cases}$.
2) $\begin{cases} y = 3 \\ (x^2 – 9)^2 = 49 \end{cases}$, откуда $\begin{cases} y = 3 \\ \begin{bmatrix} x^2 = 16, x^2 = 2 \end{bmatrix} \end{cases}$, т.е. $\begin{cases} x = \pm 4 \\ y = 3 \end{cases}$.
3) $\begin{cases} y = 5 \\ {x^2 - 25}^2 = 81 \end{cases}$, откуда $\begin{cases} y = 5 \\ \begin{bmatrix} x^2 = 34, x^2 = 16 \end{bmatrix} \end{cases}$, т.е. $\begin{cases} x = \pm 4 \\ y = 5 \end{cases}$
Ответ. $(\pm 1;0); (\pm 4;3); (\pm 4; 5)$.
Решите в целых числах уравнение $(x^2 - у^2)^2 = 1 + 16y$.
Решение:
Правая часть неотрицательна, так как равна квадрату, следовательно, $у \geq 0$, откуда левая часть не меньше $(2y - 1)^2$, так как модуль разности $у^2$ и любого квадрата целого числа (если $у \geq 0$ и квадраты различны) не меньше $|2y - 1|$. Имеем $(2y - 1)^2 \leq 1 + 16y$, откуда $у \leq 5$. Итак, правая часть может принимать значения $1, 17, 33, 49, 65, 81$, из них квадратами являются только $1, 49, 81$.
Рассмотрим 3 случая:
1) $\begin{cases} y = 0 \\ {x^2}^2 = 1 \end{cases}$, откуда $\begin{cases} x = \pm 1 \\ y = 0 \end{cases}$.
2) $\begin{cases} y = 3 \\ (x^2 – 9)^2 = 49 \end{cases}$, откуда $\begin{cases} y = 3 \\ \begin{bmatrix} x^2 = 16, x^2 = 2 \end{bmatrix} \end{cases}$, т.е. $\begin{cases} x = \pm 4 \\ y = 3 \end{cases}$.
3) $\begin{cases} y = 5 \\ {x^2 - 25}^2 = 81 \end{cases}$, откуда $\begin{cases} y = 5 \\ \begin{bmatrix} x^2 = 34, x^2 = 16 \end{bmatrix} \end{cases}$, т.е. $\begin{cases} x = \pm 4 \\ y = 5 \end{cases}$
Ответ. $(\pm 1;0); (\pm 4;3); (\pm 4; 5)$.
