Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1864
2019-01-21 
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB, BC\:и CA$ в точках $M, N$ и $K$ соответственно. Прямая, проходящая через вершину $A$ и параллельная $NK$, пересекает прямую $MN$ в точке $D$. Прямая, проходящая через $A$ и параллельная $MN$, пересекает прямую $NK$ в точке $E$. Докажите, что прямая $DE$ содержит среднюю линию треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть прямые $AD$ и $AE$ пересекают прямую $BC$ в точках $F$ и $H$ соответственно (см. рис.). Достаточно доказать, что $DE$ - средняя линия треугольника $AFH$. Треугольник $MBN$ равнобедренный ($BM = BN$) и $MN \parallel AH$, поэтому $AMNH$ - равнобедренная трапеция, т. е. $NH = AM$. Аналогично доказывается, что $FN = AK$. Так как $AK = AM$,то из полученных равенств следует, что $FN = NH$, т. е. $N$ - середина $FH$. Тогда $D$ - середина $AF$, а $E$ - середина $AH$.
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB, BC\:и CA$ в точках $M, N$ и $K$ соответственно. Прямая, проходящая через вершину $A$ и параллельная $NK$, пересекает прямую $MN$ в точке $D$. Прямая, проходящая через $A$ и параллельная $MN$, пересекает прямую $NK$ в точке $E$. Докажите, что прямая $DE$ содержит среднюю линию треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть прямые $AD$ и $AE$ пересекают прямую $BC$ в точках $F$ и $H$ соответственно (см. рис.). Достаточно доказать, что $DE$ - средняя линия треугольника $AFH$. Треугольник $MBN$ равнобедренный ($BM = BN$) и $MN \parallel AH$, поэтому $AMNH$ - равнобедренная трапеция, т. е. $NH = AM$. Аналогично доказывается, что $FN = AK$. Так как $AK = AM$,то из полученных равенств следует, что $FN = NH$, т. е. $N$ - середина $FH$. Тогда $D$ - середина $AF$, а $E$ - середина $AH$.
