Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1862
2019-01-21 
Существуют ли действительные числа $b$ и $с$ такие, что каждое из уравнений $x^2 + bx + с = 0$ и $2x^2 + (b +1)x + с + 1 = 0$ имеет по два целых корня?
Решение:
Допустим противное: такие $b$ и $с$ нашлись. Тогда, если $k$ и $l$ - корни уравнения $x^2 + bx + с = 0,$ а $m$ и $n$ - корни уравнения $2 \times 2 + (b + 1)x + с +1 = 0$, то по теореме Виета
$k + l = - b$, (1)
$kl = с$, (2)
$2(m + n) = -b - 1$, (3)
$2mn = с + 1$. (4)
Из (4) видно, что $c$ - целое нечетное число. Поэтому из (2) числа $k$ и $l$ оба нечетные, а сумма их (равная $-b$) - целое четное число. Но тогда число $(- b - 1)$ нечетно и равенство (3) невозможно. Противоречие.
Ответ. Нет.
Существуют ли действительные числа $b$ и $с$ такие, что каждое из уравнений $x^2 + bx + с = 0$ и $2x^2 + (b +1)x + с + 1 = 0$ имеет по два целых корня?
Решение:
Допустим противное: такие $b$ и $с$ нашлись. Тогда, если $k$ и $l$ - корни уравнения $x^2 + bx + с = 0,$ а $m$ и $n$ - корни уравнения $2 \times 2 + (b + 1)x + с +1 = 0$, то по теореме Виета
$k + l = - b$, (1)
$kl = с$, (2)
$2(m + n) = -b - 1$, (3)
$2mn = с + 1$. (4)
Из (4) видно, что $c$ - целое нечетное число. Поэтому из (2) числа $k$ и $l$ оба нечетные, а сумма их (равная $-b$) - целое четное число. Но тогда число $(- b - 1)$ нечетно и равенство (3) невозможно. Противоречие.
Ответ. Нет.
