Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1860
2019-01-21 
Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием $a \times b$ и высотой $с (a, b$ и $с$ - натуральные числа) оклеена «по клеточка» без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными ребрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из четного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если с нечетно, то число способов оклейки четно.
Решение:
Для удобства вместо боковой поверхности параллелепипеда $a \times b \times с$ рассмотрим боковую поверхность цилиндра высоты $c$ и длиной окружности основания $2(a + b)$, разбитую на единичные «квадраты» линиями, параллельными окружностям оснований и образующими. (Для того чтобы превратить «квадраты» в квадраты, их следует разогнуть.)
Проведем плоскость через ось симметрии цилиндра и через центры единичных «квадратов» в каком-нибудь столбце $S$ ширины 1 и высоты $с$ на поверхности цилиндра. Докажем, что никакая оклейка прямоугольниками, состоящими из четного числа единичных квадратов, удовлетворяющая условию задачи, не симметрична относительно этой плоскости. Действительно, в противном случае столбец $S$ оказался бы покрыт прямоугольниками нечетной ширины. Площадь (а, значит, и высота) каждого из этих прямоугольников четна, что противоречит нечетности высоты столбца $S$.
Итак, все способы оклейки можно разбить на пары переходящих друг в друга оклеек (при симметрии относительно указанной плоскости), значит, их число четно.
Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда с основанием $a \times b$ и высотой $с (a, b$ и $с$ - натуральные числа) оклеена «по клеточка» без наложений и пропусков прямоугольниками со сторонами, параллельными ребрам параллелепипеда, каждый из которых состоит из четного числа единичных квадратов. При этом разрешается перегибать прямоугольники через боковые ребра параллелепипеда. Докажите, что если с нечетно, то число способов оклейки четно.
Решение:
Для удобства вместо боковой поверхности параллелепипеда $a \times b \times с$ рассмотрим боковую поверхность цилиндра высоты $c$ и длиной окружности основания $2(a + b)$, разбитую на единичные «квадраты» линиями, параллельными окружностям оснований и образующими. (Для того чтобы превратить «квадраты» в квадраты, их следует разогнуть.)
Проведем плоскость через ось симметрии цилиндра и через центры единичных «квадратов» в каком-нибудь столбце $S$ ширины 1 и высоты $с$ на поверхности цилиндра. Докажем, что никакая оклейка прямоугольниками, состоящими из четного числа единичных квадратов, удовлетворяющая условию задачи, не симметрична относительно этой плоскости. Действительно, в противном случае столбец $S$ оказался бы покрыт прямоугольниками нечетной ширины. Площадь (а, значит, и высота) каждого из этих прямоугольников четна, что противоречит нечетности высоты столбца $S$.
Итак, все способы оклейки можно разбить на пары переходящих друг в друга оклеек (при симметрии относительно указанной плоскости), значит, их число четно.
