Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1859
2019-01-21 
Выпуклый многоугольник $M$ переходит в себя при повороте на угол $90^{\circ}$. Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным $ \sqrt {2}$, один из которых содержит $M$, а другой содержится в $M$.
Решение:
Пусть $O$ - центр поворота, $R$ - наибольшее из расстояний от точки $O$ до вершин многоугольника, $A_1$ - одна из вершин, такая, что $OA_1 = R$. Если $A_1$ переходит при повороте в вершину $A_2, A_2$ - в $A_3$, $A_3$ - в $A_4$, то, очевидно, $A_1A_2A_3A_4$ - квадрат с центром в точке $O$; этот квадрат, очевидно, лежит в $M$. Отношение радиусов его вписанного и описанного кругов равно $\sqrt{2}$, при этом первый лежит в $M$, а второй содержит $M$ по определению $R$, что и требовалось.
Замечание. Справедливо следующее утверждение: если выпуклый многоугольник $M$ переходит в себя при повороте на угол $\alpha (\alpha < 180^{\circ})$, то найдутся два круга с отношением радиусов, равным 2, один из которых содержит $M$, а другой содержится в $М$. Попробуйте доказать его самостоятельно.
Выпуклый многоугольник $M$ переходит в себя при повороте на угол $90^{\circ}$. Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным $ \sqrt {2}$, один из которых содержит $M$, а другой содержится в $M$.
Решение:
Пусть $O$ - центр поворота, $R$ - наибольшее из расстояний от точки $O$ до вершин многоугольника, $A_1$ - одна из вершин, такая, что $OA_1 = R$. Если $A_1$ переходит при повороте в вершину $A_2, A_2$ - в $A_3$, $A_3$ - в $A_4$, то, очевидно, $A_1A_2A_3A_4$ - квадрат с центром в точке $O$; этот квадрат, очевидно, лежит в $M$. Отношение радиусов его вписанного и описанного кругов равно $\sqrt{2}$, при этом первый лежит в $M$, а второй содержит $M$ по определению $R$, что и требовалось.
Замечание. Справедливо следующее утверждение: если выпуклый многоугольник $M$ переходит в себя при повороте на угол $\alpha (\alpha < 180^{\circ})$, то найдутся два круга с отношением радиусов, равным 2, один из которых содержит $M$, а другой содержится в $М$. Попробуйте доказать его самостоятельно.
