Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1858
2019-01-21 
Пусть $P(x)$ - квадратный трехчлен с неотрицательными коэффициентами. Докажите, что для любых действительных чисел x и у справедливо неравенство $P((xy)^2) \leq P(x^2) \cdot P(y^2)$
Решение:
Пусть $P(x) = ax^2 + bx + с$. Тогда $(P(xy))^2 -P(x^2)P(y^2) = (ax^2y^2 + bxy + с)^2 - (ax^4 + bx^2 + c)(ay^4 + bу^2 + с) = a^2x^4y^4 + b^2x^2y^2 + с^2 + 2abx^3y^3 + 2acx^2y^2 + 2bcxy - a^2x4y4 - b^2x^2y^2 - с^2 - abx^2y^2(x^2 + у^2) - ac(x^4 + у^4) - bc(x^2 + у^2) = abx^2y^2(2xy - x^2 - у^2) + ac(2x^2y^2 - x^4 - у^4) + bc(2xy - x^2 - у^2) = -abx^2y^2(x - у)2 - ac(x^2 - у^2)2 - bc(x - у)2$.
При $a \geq 0, b \geq 0, с \geq 0$ все три слагаемых в последнем выражении неположительны, откуда и следует неравенство $(P(xy))^2 \leq P(x^2)P(у^2)$.
Замечание. Утверждение задачи остается справедливым для произвольного многочлена с неотрицательными коэффициентами.
Пусть $P(x)$ - квадратный трехчлен с неотрицательными коэффициентами. Докажите, что для любых действительных чисел x и у справедливо неравенство $P((xy)^2) \leq P(x^2) \cdot P(y^2)$
Решение:
Пусть $P(x) = ax^2 + bx + с$. Тогда $(P(xy))^2 -P(x^2)P(y^2) = (ax^2y^2 + bxy + с)^2 - (ax^4 + bx^2 + c)(ay^4 + bу^2 + с) = a^2x^4y^4 + b^2x^2y^2 + с^2 + 2abx^3y^3 + 2acx^2y^2 + 2bcxy - a^2x4y4 - b^2x^2y^2 - с^2 - abx^2y^2(x^2 + у^2) - ac(x^4 + у^4) - bc(x^2 + у^2) = abx^2y^2(2xy - x^2 - у^2) + ac(2x^2y^2 - x^4 - у^4) + bc(2xy - x^2 - у^2) = -abx^2y^2(x - у)2 - ac(x^2 - у^2)2 - bc(x - у)2$.
При $a \geq 0, b \geq 0, с \geq 0$ все три слагаемых в последнем выражении неположительны, откуда и следует неравенство $(P(xy))^2 \leq P(x^2)P(у^2)$.
Замечание. Утверждение задачи остается справедливым для произвольного многочлена с неотрицательными коэффициентами.
