Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1855
2019-01-21 
В равнобедренном треугольнике $ABC (AB = BC)$ проведена биссектриса $CD$. Прямая, перпендикулярная $CD$ и проходящая через центр описанной около треугольника $ABC$ окружности, пересекает $BC$ в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ параллельно $CD$, пересекает $AB$ в точке $F$. Докажите, что $BE = FD$.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, $K$ - точка пересечения прямых $BO$ и $CD$ (см. рисунках).
Из равенства острых углов $BOE$ и $DCA$ с перпендикулярными сторонами следует, что $\angle BOE = \angle KCE (CD$ - биссектриса) и, значит, точки $K, O, E, C$ лежат на одной окружности (на рис. $\angle KOE + \angle KCE = 180^{\circ}$, на рис. $\angle KOE = \angle KCE$, в случае совпадения точек $K$ и $O$ утверждение очевидно). Отсюда следует, что $\angle OKE = \angle OCE$ (на рис. углы опираются на одну дугу), либо $\angle OKE + \angle OCE = 180^{\circ}$ (рис.). Но $\angle OCE = \angle OBE$, так как $OB = OC$, значит, $\angle BKE = \angle KBE$, т. е. $BE = KE$. Кроме того, $\angle BKE = \angle KBE = \angle KBA$, поэтому $KE \parallel AB$, следовательно, $FEKD$ - параллелограмм и $DF = KE$. Итак, $DF = KE = BE$.
В равнобедренном треугольнике $ABC (AB = BC)$ проведена биссектриса $CD$. Прямая, перпендикулярная $CD$ и проходящая через центр описанной около треугольника $ABC$ окружности, пересекает $BC$ в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ параллельно $CD$, пересекает $AB$ в точке $F$. Докажите, что $BE = FD$.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, $K$ - точка пересечения прямых $BO$ и $CD$ (см. рисунках).
Из равенства острых углов $BOE$ и $DCA$ с перпендикулярными сторонами следует, что $\angle BOE = \angle KCE (CD$ - биссектриса) и, значит, точки $K, O, E, C$ лежат на одной окружности (на рис. $\angle KOE + \angle KCE = 180^{\circ}$, на рис. $\angle KOE = \angle KCE$, в случае совпадения точек $K$ и $O$ утверждение очевидно). Отсюда следует, что $\angle OKE = \angle OCE$ (на рис. углы опираются на одну дугу), либо $\angle OKE + \angle OCE = 180^{\circ}$ (рис.). Но $\angle OCE = \angle OBE$, так как $OB = OC$, значит, $\angle BKE = \angle KBE$, т. е. $BE = KE$. Кроме того, $\angle BKE = \angle KBE = \angle KBA$, поэтому $KE \parallel AB$, следовательно, $FEKD$ - параллелограмм и $DF = KE$. Итак, $DF = KE = BE$.
