Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1854
2019-01-21 
Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?
Решение:
Пусть $a \geq b \geq с$ - числа, удовлетворяющие условиям задачи. Так как $a^2 - 1$ делится на $b$, числа $a$ и $b$ взаимно просты. Поэтому число $с^2 - 1$, которое по условию делится на $a$ и на $b$, должно делиться и на их произведение, следовательно $с^2 - 1 \geq ab$. С другой стороны, $a \geq с$ и $b \geq с$, т. е. $ab \geq с^2$. Противоречие.
Ответ. Не существуют.
Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?
Решение:
Пусть $a \geq b \geq с$ - числа, удовлетворяющие условиям задачи. Так как $a^2 - 1$ делится на $b$, числа $a$ и $b$ взаимно просты. Поэтому число $с^2 - 1$, которое по условию делится на $a$ и на $b$, должно делиться и на их произведение, следовательно $с^2 - 1 \geq ab$. С другой стороны, $a \geq с$ и $b \geq с$, т. е. $ab \geq с^2$. Противоречие.
Ответ. Не существуют.
