Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1853
2019-01-21 
Докажите, что при $n \geq 5$ сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный $n$ -угольник, не может являться правильным $(n + 1)$ - угольником.
Решение:
Пусть правильный $(n +1)$-угольник $B_1 \cdots B_{n+1}$ является сечением пирамиды $SA_1 \cdots A_n$, где $A_1 \cdots A_n$ - правильный $n$-угольник. Мы рассмотрим три случая: $n = 5, n = 2k - 1 (k > 3)$ и $n = 2k (k > 2)$.
Так как $n$-угольная пирамида имеет $(n +1)$ грань, то стороны сечения находятся по одной в каждой грани пирамиды. Поэтому без ограничения общности рассуждений можно считать, что точки $B_1, \cdots, B_{n+1}$ расположены на ребрах пирамиды так, как показано на рисунках (в соответствии с указанными случаями).
1) $n = 5$. Так как в правильном шестиугольнике $B_1 \cdots B_6$ прямые $B_2B_3, B_5B_6$ и $B_1B_4$ параллельны, а плоскости $A_2SA_3$ и $A_1SA_5$ проходят через $B_2B_3$ и $B_5B_6$, то их линия пересечения $ST (T = A_1A_5 \cap A_2A_3)$ параллельна этим прямым, т. е. $ST \parallel B_1B_4$. Проведем через прямые $ST$ и $B_1B_4$ плоскость. Эта плоскость пересечет плоскость основания пирамиды по прямой $B_1A_4$, которая должна проходить через точку пересечения прямой $ST$ с плоскостью основания, т. е. через точку $T$. Итак, прямые $A_1A_5, A_4B_1$ и $A_2A_3$ пересекаются в одной точке. Аналогично доказывается, что прямые $A_1A_2, A_3B_6$ и $A_4A_5$ пересекаются в одной точке. Из этого следует, что $A_4B_1$ и $A_3B_6$ - оси симметрии правильного пятиугольника $A_1 \cdots A_5$, значит, точка $O$ их пересечения - центр этого пятиугольника. Заметим теперь, что если $Q$ - центр правильного шестиугольника $B_1 \cdots B_6$, то плоскости $SA_3B_6, SA_4B_1$ и $SB_2B_5$ пересекаются по прямой $SQ$. Следовательно, прямые $A_3B_6, A_4B_1$ и$A_2A_5$ должны пересекаться в одной точке - точке пересечения прямой $SQ$ с плоскостью основания пирамиды. Значит, диагональ $A_2A_5$ правильного пятиугольника $A_1 \cdots A_5$ должна проходить через его центр $O$, что неверно.
2) $n = 2k - 1 (k > 3)$. Аналогично первому случаю показывается, что так как в правильном $2k$-угольнике $B_1 \cdots B_{2k}$ прямые $B_1B_2, B_{k+1}B_{k+2}$ и $B_kB_{k+3}$ параллельны, то прямые $A_1A_2, A_{k+1}A-{k+2}$ и $A_kA_{k+3}$ должны пересекаться в одной точке или быть параллельными, что невозможно, так как в правильном $(2k - 1)$-угольнике $A_1 \cdots A_{2k-1}$ прямые $A_{k+1}A_{k+2}$ и $A_kA_{k+3}$ параллельны, а прямые $A_1A_2$ и $A_{k+1}A_{k+2}$ непараллельны.
3) $n = 2k (k > 2)$. Аналогично предыдущему случаю, прямые $A_1A_2, A_{k+1}A_{k+2}$ и $A_kA_{k+3}$ параллельны, следовательно, прямые $B_1B_2, B_{k+1}B_{k+2}$ и $B_kB_{k+3}$ должны пересекаться в одной точке, что невозможно, так как $B_{k+1}B_{k+2} \parallel B_kB_{k+3}$, а прямые $B_1B_2$ и $B_{k+1}B_{k+2}$ непараллельны.
Замечание 1. При $n = 3, 4$ утверждение задачи неверно. Примерами могут служить правильный тетраэдр, имеющий сечение - квадрат, и правильная четырехугольная пирамида, все боковые грани которой являются правильными треугольниками, которая имеет сечение - правильный пятиугольник.
Замечание 2. Приведенное решение можно было бы изложить короче, если воспользоваться центральным проектированием и его свойством, утверждающим, что при центральном проектировании образами прямых, проходящих через одну точку (или параллельных), являются прямые, проходящие через одну точку (или параллельные). Достаточно спроектировать сечение пирамиды на плоскость основания с центром в вершине пирамиды.
Докажите, что при $n \geq 5$ сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный $n$ -угольник, не может являться правильным $(n + 1)$ - угольником.
Решение:
Пусть правильный $(n +1)$-угольник $B_1 \cdots B_{n+1}$ является сечением пирамиды $SA_1 \cdots A_n$, где $A_1 \cdots A_n$ - правильный $n$-угольник. Мы рассмотрим три случая: $n = 5, n = 2k - 1 (k > 3)$ и $n = 2k (k > 2)$.
Так как $n$-угольная пирамида имеет $(n +1)$ грань, то стороны сечения находятся по одной в каждой грани пирамиды. Поэтому без ограничения общности рассуждений можно считать, что точки $B_1, \cdots, B_{n+1}$ расположены на ребрах пирамиды так, как показано на рисунках (в соответствии с указанными случаями).
1) $n = 5$. Так как в правильном шестиугольнике $B_1 \cdots B_6$ прямые $B_2B_3, B_5B_6$ и $B_1B_4$ параллельны, а плоскости $A_2SA_3$ и $A_1SA_5$ проходят через $B_2B_3$ и $B_5B_6$, то их линия пересечения $ST (T = A_1A_5 \cap A_2A_3)$ параллельна этим прямым, т. е. $ST \parallel B_1B_4$. Проведем через прямые $ST$ и $B_1B_4$ плоскость. Эта плоскость пересечет плоскость основания пирамиды по прямой $B_1A_4$, которая должна проходить через точку пересечения прямой $ST$ с плоскостью основания, т. е. через точку $T$. Итак, прямые $A_1A_5, A_4B_1$ и $A_2A_3$ пересекаются в одной точке. Аналогично доказывается, что прямые $A_1A_2, A_3B_6$ и $A_4A_5$ пересекаются в одной точке. Из этого следует, что $A_4B_1$ и $A_3B_6$ - оси симметрии правильного пятиугольника $A_1 \cdots A_5$, значит, точка $O$ их пересечения - центр этого пятиугольника. Заметим теперь, что если $Q$ - центр правильного шестиугольника $B_1 \cdots B_6$, то плоскости $SA_3B_6, SA_4B_1$ и $SB_2B_5$ пересекаются по прямой $SQ$. Следовательно, прямые $A_3B_6, A_4B_1$ и$A_2A_5$ должны пересекаться в одной точке - точке пересечения прямой $SQ$ с плоскостью основания пирамиды. Значит, диагональ $A_2A_5$ правильного пятиугольника $A_1 \cdots A_5$ должна проходить через его центр $O$, что неверно.
2) $n = 2k - 1 (k > 3)$. Аналогично первому случаю показывается, что так как в правильном $2k$-угольнике $B_1 \cdots B_{2k}$ прямые $B_1B_2, B_{k+1}B_{k+2}$ и $B_kB_{k+3}$ параллельны, то прямые $A_1A_2, A_{k+1}A-{k+2}$ и $A_kA_{k+3}$ должны пересекаться в одной точке или быть параллельными, что невозможно, так как в правильном $(2k - 1)$-угольнике $A_1 \cdots A_{2k-1}$ прямые $A_{k+1}A_{k+2}$ и $A_kA_{k+3}$ параллельны, а прямые $A_1A_2$ и $A_{k+1}A_{k+2}$ непараллельны.
3) $n = 2k (k > 2)$. Аналогично предыдущему случаю, прямые $A_1A_2, A_{k+1}A_{k+2}$ и $A_kA_{k+3}$ параллельны, следовательно, прямые $B_1B_2, B_{k+1}B_{k+2}$ и $B_kB_{k+3}$ должны пересекаться в одной точке, что невозможно, так как $B_{k+1}B_{k+2} \parallel B_kB_{k+3}$, а прямые $B_1B_2$ и $B_{k+1}B_{k+2}$ непараллельны.
Замечание 1. При $n = 3, 4$ утверждение задачи неверно. Примерами могут служить правильный тетраэдр, имеющий сечение - квадрат, и правильная четырехугольная пирамида, все боковые грани которой являются правильными треугольниками, которая имеет сечение - правильный пятиугольник.
Замечание 2. Приведенное решение можно было бы изложить короче, если воспользоваться центральным проектированием и его свойством, утверждающим, что при центральном проектировании образами прямых, проходящих через одну точку (или параллельных), являются прямые, проходящие через одну точку (или параллельные). Достаточно спроектировать сечение пирамиды на плоскость основания с центром в вершине пирамиды.
