Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1852
2019-01-21 
Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.
Решение:
Пусть $n$ - число путников, обозначенных буквами $P_1, P_2, \cdots, P_n$. Рассмотрим величину $V_{ij}$ - скорость сближения $P_i$ и $P_j$ (для произвольных $1 \leq i, j \leq n$; если $i = j,$ то $V_{ij} = 0$). Эта величина может быть как положительной, так и отрицательной (путники удаляются друг от друга). Заметим, что в течение всего рассматриваемого периода времени $V_{ij}$ не возрастает (а уменьшиться может только один раз - в результате встречи $P_i$ и $P_j$ или обгона одного из них другим).
По условию задачи в конце рассмотренного периода времени сумма всех попарных скоростей положительна:
$\sum_{1 \leq i \leq j \leq n}^{ }V_{ij} > 0$,
а поскольку $V_{ij} = V_{ji}$ (для любых $1 \leq i < j \leq n$), то
$\sum_{1 \leq i \leq j \leq n}^{ }V_{ij} = \frac{1}{2} \sum_{1 \leq i \neq j \leq n}^{ }V_{ij} = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n} V_{ij} > 0$.
Отсюда следует, что обязательно найдется путник $P_j$ такой, что
$\sum_{i=1}^{n} V_{ij} > 0$. (*)
А так как все $V_{ij}$ не возрастали в течение всего периода времени, то и неравенство (*) выполнялось в течение всего периода времени, откуда и вытекает утверждение задачи.
Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.
Решение:
Пусть $n$ - число путников, обозначенных буквами $P_1, P_2, \cdots, P_n$. Рассмотрим величину $V_{ij}$ - скорость сближения $P_i$ и $P_j$ (для произвольных $1 \leq i, j \leq n$; если $i = j,$ то $V_{ij} = 0$). Эта величина может быть как положительной, так и отрицательной (путники удаляются друг от друга). Заметим, что в течение всего рассматриваемого периода времени $V_{ij}$ не возрастает (а уменьшиться может только один раз - в результате встречи $P_i$ и $P_j$ или обгона одного из них другим).
По условию задачи в конце рассмотренного периода времени сумма всех попарных скоростей положительна:
$\sum_{1 \leq i \leq j \leq n}^{ }V_{ij} > 0$,
а поскольку $V_{ij} = V_{ji}$ (для любых $1 \leq i < j \leq n$), то
$\sum_{1 \leq i \leq j \leq n}^{ }V_{ij} = \frac{1}{2} \sum_{1 \leq i \neq j \leq n}^{ }V_{ij} = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n} V_{ij} > 0$.
Отсюда следует, что обязательно найдется путник $P_j$ такой, что
$\sum_{i=1}^{n} V_{ij} > 0$. (*)
А так как все $V_{ij}$ не возрастали в течение всего периода времени, то и неравенство (*) выполнялось в течение всего периода времени, откуда и вытекает утверждение задачи.
