Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1850
2019-01-21 
Знайка пишет на доске 10 чисел, потом Незнайка дописывает еще 10 чисел, причем все 20 чисел должны быть положительными и различными. Могли Знайка написать такие числа, чтобы потом гарантированно суметь составить 10 квадратных трехчленов вида $x^2 + px + q$, среди коэффициентов $p$ и $q$ которых встречались бы все записанные числа, и действительные корни этих трехчленов принимали ровно 11 различных значений?
Решение:
Лемма 1.
1) Если $a > 4$ и $a > b$, то трехчлен $x^2 + ax + b$ имеет два различных действительных корня.
2) Если $a < 4$ и $b > 0$, то хотя бы один из трехчленов $x^2 + ax + b, x^2 + bx + a$ не имеет действительных корней.
Доказательство. Первое очевидно, ибо дискриминант $D = a^2 - 4b > 4a - 4b > 0$. Во втором случае также проверяется, что если $b > a,$ то $b^2 - 4a < 0$, а если $b > a,$ то $a^2 - 4b < 0$. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть $0 < a < b < c < d$ и оба трехчлена $x^2 + dx + a$ и $x^2 + cx + b$ имеют по два действительных корня. Тогда все четыре их корня попарно различны.
Доказательство. Допустим противное: эти трехчлены имеют общий корень $x_0$. Пусть первый трехчлен имеет еще корень $x_1$, а второй - корень $x_2$. Очевидно, что числа $x_0, x_1, x_2$ отрицательны. Поскольку $d = - (x_0 + x_1) > с = - (x_0 + x_2)$, имеем $x_1 < x_2$. Умножая обе части последнего неравенства на отрицательное число $x_0$, получаем $x_1x_0 > x_2x_0$, т. е. $a > b$. Противоречие. Лемма доказана.
Покажем, что выбранные Знайкой 10 чисел подходят. Рассмотрим все Незнайкины числа, большие 4. Если их количество нечетно, добавим к ним еще одно (любое) Незнайкино число. Назовем эти числа отмеченными.
Добавим к отмеченным числа из набора $5, 5^2, 5^4, 5^8, 5^{16}, 5^{32}$ так, чтобы общее количество отмеченных чисел было равно 12, а если степеней пятерки не хватит, то добавим еще несколько любых Незнайкиных чисел. Из неиспользованных степеней пятерки составим трехчлены $x^2 + px + q$, у которых $p < q$, тогда их дискриминанты отрицательны и, следовательно, они не имеют действительных корней.
Запишем 12 отмеченных чисел в порядке возрастания: $n_1, n_2,\cdots, n_{12}$. Теперь составим из них 6 трехчленов: $x^2 + n_{12}x + n_1, \cdots, x^2 + n_7x + n_6$. По построению среди 12 отмеченных чисел не менее шести чисел больше 4. Поэтому по лемме 1 у каждого из этих трехчленов два различных действительных корня. По лемме 2 все эти корни попарно различны. Итак, имеем 12 попарно различных корней отмеченных трехчленов.
Составим трехчлен $х^2 + 2х + 1$. Его единственный корень равен - 1. Если это число встречается среди корней отмеченных трехчленов, то объявляем соответствующий трехчлен плохим. Если нет, объявляем плохим любой из отмеченных трехчленов. Выбираем плохой трехчлен, а из двух его коэффициентов и чисел 1/2 и 1/4 составляем (по лемме 1) два трехчлена, не имеющие действительных корней. Теперь различных действительных корней у составленных уже трехчленов ровно 11.
Возможно, осталось неиспользованными несколько Незнайкиных чисел, из которых все, кроме, быть может, одного, меньше 4 (одно может равняться 4). По лемме 1 составим из них трехчлены, не имеющие корней. Цель достигнута.
Ответ. Да, мог. Например, записав числа $1/4, 1/2, 1, 2, 5, 5^2, 5^4, 5^8, 5^{16}, 5^{32}$.
Знайка пишет на доске 10 чисел, потом Незнайка дописывает еще 10 чисел, причем все 20 чисел должны быть положительными и различными. Могли Знайка написать такие числа, чтобы потом гарантированно суметь составить 10 квадратных трехчленов вида $x^2 + px + q$, среди коэффициентов $p$ и $q$ которых встречались бы все записанные числа, и действительные корни этих трехчленов принимали ровно 11 различных значений?
Решение:
Лемма 1.
1) Если $a > 4$ и $a > b$, то трехчлен $x^2 + ax + b$ имеет два различных действительных корня.
2) Если $a < 4$ и $b > 0$, то хотя бы один из трехчленов $x^2 + ax + b, x^2 + bx + a$ не имеет действительных корней.
Доказательство. Первое очевидно, ибо дискриминант $D = a^2 - 4b > 4a - 4b > 0$. Во втором случае также проверяется, что если $b > a,$ то $b^2 - 4a < 0$, а если $b > a,$ то $a^2 - 4b < 0$. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть $0 < a < b < c < d$ и оба трехчлена $x^2 + dx + a$ и $x^2 + cx + b$ имеют по два действительных корня. Тогда все четыре их корня попарно различны.
Доказательство. Допустим противное: эти трехчлены имеют общий корень $x_0$. Пусть первый трехчлен имеет еще корень $x_1$, а второй - корень $x_2$. Очевидно, что числа $x_0, x_1, x_2$ отрицательны. Поскольку $d = - (x_0 + x_1) > с = - (x_0 + x_2)$, имеем $x_1 < x_2$. Умножая обе части последнего неравенства на отрицательное число $x_0$, получаем $x_1x_0 > x_2x_0$, т. е. $a > b$. Противоречие. Лемма доказана.
Покажем, что выбранные Знайкой 10 чисел подходят. Рассмотрим все Незнайкины числа, большие 4. Если их количество нечетно, добавим к ним еще одно (любое) Незнайкино число. Назовем эти числа отмеченными.
Добавим к отмеченным числа из набора $5, 5^2, 5^4, 5^8, 5^{16}, 5^{32}$ так, чтобы общее количество отмеченных чисел было равно 12, а если степеней пятерки не хватит, то добавим еще несколько любых Незнайкиных чисел. Из неиспользованных степеней пятерки составим трехчлены $x^2 + px + q$, у которых $p < q$, тогда их дискриминанты отрицательны и, следовательно, они не имеют действительных корней.
Запишем 12 отмеченных чисел в порядке возрастания: $n_1, n_2,\cdots, n_{12}$. Теперь составим из них 6 трехчленов: $x^2 + n_{12}x + n_1, \cdots, x^2 + n_7x + n_6$. По построению среди 12 отмеченных чисел не менее шести чисел больше 4. Поэтому по лемме 1 у каждого из этих трехчленов два различных действительных корня. По лемме 2 все эти корни попарно различны. Итак, имеем 12 попарно различных корней отмеченных трехчленов.
Составим трехчлен $х^2 + 2х + 1$. Его единственный корень равен - 1. Если это число встречается среди корней отмеченных трехчленов, то объявляем соответствующий трехчлен плохим. Если нет, объявляем плохим любой из отмеченных трехчленов. Выбираем плохой трехчлен, а из двух его коэффициентов и чисел 1/2 и 1/4 составляем (по лемме 1) два трехчлена, не имеющие действительных корней. Теперь различных действительных корней у составленных уже трехчленов ровно 11.
Возможно, осталось неиспользованными несколько Незнайкиных чисел, из которых все, кроме, быть может, одного, меньше 4 (одно может равняться 4). По лемме 1 составим из них трехчлены, не имеющие корней. Цель достигнута.
Ответ. Да, мог. Например, записав числа $1/4, 1/2, 1, 2, 5, 5^2, 5^4, 5^8, 5^{16}, 5^{32}$.
