2014-06-07
Доказать, что если центр тяжести треугольника совпадает с центром тяжести его границы, то треугольник равносторонний.
Решение:
Пусть центр тяжести границы треугольника ABC совпадает с центром тяжести самого треугольника, т. е. с точкой О пересечения его медиан. Обозначим через а, b, с длины сторон ВС, CA, АВ соответственно, а через $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ - их середины (которые являются их центрами тяжести). Тогда
$a \cdot \overrightarrow{OA}_{1}+ b \cdot \overrightarrow{OB}_{1} + c \cdot \overrightarrow{OC}_{1} = 0$.
Поскольку
$\overrightarrow{OC}_{1} = \frac{1}{3} \overrightarrow{CC}_{1} = \frac{1}{6} (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) = - \frac{1}{6} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) - \frac{1}{6} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) =$
$= - \frac{1}{3} \overrightarrow{AA}_{1} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AA}_{1} = - \overrightarrow{OA}_{1} - \overrightarrow{OB}_{1}$
мы получаем
$(a - c) \overrightarrow{OA}_{1} + (b - c) \overrightarrow{OB}_{1} = a \overrightarrow{OA}_{1} + b \overrightarrow{OB}_{1} + c \overrightarrow{OC}_{1}+ = 0$,
откуда в силу неколлинеарности векторов $\overrightarrow{OA}_{1}$ и $\overrightarrow{OB}_{1}$ имеем $a = c = b$, т. е. треугольник ABC правильный.