Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1847
2019-01-21 
В вершинах куба записали восемь различных натуральных чисел, а на каждом его ребре - наибольший общий делитель двух чисел, записанных на концах этого ребра. Могла ли сумма всех чисел, записанных в вершинах, оказаться равной сумме всех чисел, записанных на ребрах?
Решение:
Заметим, что если $а$ и $b$ - два натуральных числа и $a > b,$ то $\:НОД(а, b) \leq b$ и $2\:НОД(a, b) \leq a$. Поэтому при $a \neq b 3\:НOД(а, b) \leq a+b$. Складывая 12 таких неравенств, соответствующих 12 ребрам куба, получаем, что требуемое условиям задачи равенство возможно только тогда, когда для каждого ребра $\:НОД (а, b) = \frac{a+b}{3}$. Но в этом случае наибольшее из чисел $a$ и $b$ вдвое больше наименьшего. Рассмотрим числа $a, b$ на произвольном ребре; пусть, скажем, $a = 2b$. Рассмотрим числа $с$ и $d$, стоящие на концах двух других ребер, выходящих из вершины с числом $a$. Каждое из них должно быть вдвое больше или вдвое меньше числа $a$. Если хотя бы одно вдвое меньше, оно равно $b$, если оба вдвое больше, то они равны между собой. Оба варианта противоречат условию, что и завершает доказательство.
Ответ. Не могла.
В вершинах куба записали восемь различных натуральных чисел, а на каждом его ребре - наибольший общий делитель двух чисел, записанных на концах этого ребра. Могла ли сумма всех чисел, записанных в вершинах, оказаться равной сумме всех чисел, записанных на ребрах?
Решение:
Заметим, что если $а$ и $b$ - два натуральных числа и $a > b,$ то $\:НОД(а, b) \leq b$ и $2\:НОД(a, b) \leq a$. Поэтому при $a \neq b 3\:НOД(а, b) \leq a+b$. Складывая 12 таких неравенств, соответствующих 12 ребрам куба, получаем, что требуемое условиям задачи равенство возможно только тогда, когда для каждого ребра $\:НОД (а, b) = \frac{a+b}{3}$. Но в этом случае наибольшее из чисел $a$ и $b$ вдвое больше наименьшего. Рассмотрим числа $a, b$ на произвольном ребре; пусть, скажем, $a = 2b$. Рассмотрим числа $с$ и $d$, стоящие на концах двух других ребер, выходящих из вершины с числом $a$. Каждое из них должно быть вдвое больше или вдвое меньше числа $a$. Если хотя бы одно вдвое меньше, оно равно $b$, если оба вдвое больше, то они равны между собой. Оба варианта противоречат условию, что и завершает доказательство.
Ответ. Не могла.
