Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1845
2019-01-21 
Найдите все такие натуральные $n$, что при некоторых взаимно простых $x$ и $y$ и натуральном $k, k > 1$, выполняется равенство $3^n = x^k + y^k$.
Решение:
Пусть $3^n = x^k + у^k$, где $x, у$ - взаимно простые числа $(x > y), k > 1, n$ - натуральное. Ясно, что ни одно из чисел $x, у$ не кратно трем. Поэтому, если $k$ четно, то $x^k$ и $у^k$ при делении на 3 дают в остатке 1, а значит, их сумма при делении на 3 дает в остатке 2, т. е. не является степенью 3.
Значит, $к$ нечетно и $к > 1$. Поскольку $k$ делится на 3 (см. решение задачи 499), положив $x_1 = x^{k/3}, у_1 = у^{к/3}$ можем считать, что $k = 3$. Итак, $x^3 + у^3 = (x + у)(x^2 - xy + у^2) = 3^n, x + у = 3^m$. Если $x + у = 3$, то $x = 2, у = 1$ (или наоборот), что дает решение $n = 2$.
Пусть $x + у \geq 9$. Тогда $x^2 - xy + у^2 \geq \frac{(x+y)^2}{4} > x + y$ (достаточно раскрыть скобки). Значит, $x^2 - xy + у^2$ делится на $x + у$ (так как оба числа - степени тройки), откуда $3xy = (x + у)^2 - (x^2 - xy + у^2)$ делится на $x+у$. Но $x, у$ не делятся на 3, поэтому $3xy$ не может делиться на степень тройки, большую первой. Противоречие.
Ответ. $n = 2$.
Найдите все такие натуральные $n$, что при некоторых взаимно простых $x$ и $y$ и натуральном $k, k > 1$, выполняется равенство $3^n = x^k + y^k$.
Решение:
Пусть $3^n = x^k + у^k$, где $x, у$ - взаимно простые числа $(x > y), k > 1, n$ - натуральное. Ясно, что ни одно из чисел $x, у$ не кратно трем. Поэтому, если $k$ четно, то $x^k$ и $у^k$ при делении на 3 дают в остатке 1, а значит, их сумма при делении на 3 дает в остатке 2, т. е. не является степенью 3.
Значит, $к$ нечетно и $к > 1$. Поскольку $k$ делится на 3 (см. решение задачи 499), положив $x_1 = x^{k/3}, у_1 = у^{к/3}$ можем считать, что $k = 3$. Итак, $x^3 + у^3 = (x + у)(x^2 - xy + у^2) = 3^n, x + у = 3^m$. Если $x + у = 3$, то $x = 2, у = 1$ (или наоборот), что дает решение $n = 2$.
Пусть $x + у \geq 9$. Тогда $x^2 - xy + у^2 \geq \frac{(x+y)^2}{4} > x + y$ (достаточно раскрыть скобки). Значит, $x^2 - xy + у^2$ делится на $x + у$ (так как оба числа - степени тройки), откуда $3xy = (x + у)^2 - (x^2 - xy + у^2)$ делится на $x+у$. Но $x, у$ не делятся на 3, поэтому $3xy$ не может делиться на степень тройки, большую первой. Противоречие.
Ответ. $n = 2$.
