Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1842
2019-01-21 
Можно ли прямоугольник $5 \times 7$ покрыть уголками из трех клеток (т. е. фигурками, которые получаются из квадрата $2 \times 2$ удалением одной клетки), не выходящими за его пределы, в несколько слоев так, чтобы каждая клетка прямоугольника была покрыта одинаковым числом клеток, принадлежащих уголкам?
Решение:
Покрасим клетки прямоугольника в черный и белый цвета так, как показано на рис. В черные клетки запишем число -2, а в белые - число 1. Заметим, что сумма чисел в клетках, покрываемых любым уголком, неотрицательна, следовательно, если нам удалось покрыть прямоугольник в к слоев, удовлетворяющих условию, то сумма $S$ чисел по всем клеткам, покрытым уголками, неотрицательна. Но если сумма всех чисел в прямоугольнике равна $s,$ то $S = ks = k(-2 \cdot 12 + 23 \cdot 1) = -к > 0$. Получим противоречие.
Замечание. Аналогично доказывается, что покрытия, удовлетворяющего условию задачи не существует, если прямоугольник имеет размеры $3 \times (2n +1)$ и $5 \times 5$. Прямоугольник $2 \times 3$ можно покрыть в один слой двумя уголками, прямоугольник $5 \times 9$ - в один слой пятнадцатью уголками, квадрат $2 \times 2$ - в три слоя четырьмя уголками. Комбинируя эти три покрытия, нетрудно доказать, что все остальные прямоугольники $m \times n (m, n \geq 2)$ можно покрыть уголками, удовлетворяя условию.
Ответ. Нельзя.
Можно ли прямоугольник $5 \times 7$ покрыть уголками из трех клеток (т. е. фигурками, которые получаются из квадрата $2 \times 2$ удалением одной клетки), не выходящими за его пределы, в несколько слоев так, чтобы каждая клетка прямоугольника была покрыта одинаковым числом клеток, принадлежащих уголкам?
Решение:
Покрасим клетки прямоугольника в черный и белый цвета так, как показано на рис. В черные клетки запишем число -2, а в белые - число 1. Заметим, что сумма чисел в клетках, покрываемых любым уголком, неотрицательна, следовательно, если нам удалось покрыть прямоугольник в к слоев, удовлетворяющих условию, то сумма $S$ чисел по всем клеткам, покрытым уголками, неотрицательна. Но если сумма всех чисел в прямоугольнике равна $s,$ то $S = ks = k(-2 \cdot 12 + 23 \cdot 1) = -к > 0$. Получим противоречие.
Замечание. Аналогично доказывается, что покрытия, удовлетворяющего условию задачи не существует, если прямоугольник имеет размеры $3 \times (2n +1)$ и $5 \times 5$. Прямоугольник $2 \times 3$ можно покрыть в один слой двумя уголками, прямоугольник $5 \times 9$ - в один слой пятнадцатью уголками, квадрат $2 \times 2$ - в три слоя четырьмя уголками. Комбинируя эти три покрытия, нетрудно доказать, что все остальные прямоугольники $m \times n (m, n \geq 2)$ можно покрыть уголками, удовлетворяя условию.
Ответ. Нельзя.
