Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1840
2019-01-20 
В равнобедренном треугольнике $ABC (AC = BC)$ точка $O$ - центр описанной окружности, точка $I$ - центр вписанной окружности, а точка $D$ на стороне $BC$ такова, что прямые $OD$ и $BI$ перпендикулярны. Докажите, что прямые $ID$ и $AC$ параллельны.
Решение:
Если данный треугольник равносторонний (точки $O$ и $I$ совпадают), то утверждение очевидно. Пусть точка $O$ лежит между точками $I$ и $C$ (см. рис.). Проведем высоту $CE$. Заметим, что
$\angle EIB = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle ABC$ и
$\angle ODB = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle ABC$,
следовательно, $\angle OIB + \angle ODB = 180^{\circ}$, т. е. точки $B, I, O$ и $D$ лежат на одной окружности. Тогда $\angle IDB = \angle IOB$ (как вписанные, опирающиеся на дугу $IB$), но $\angle IOB = \frac{1}{2} \angle AOB = \angle ACB$. Итак, $\angle IDB = \angle ACB$, поэтому $ID \parallel AC$.
В случае, когда точка $I$ лежит между точками $O$ и $C$ (см. рисунки) ход решения остается таким же.
В равнобедренном треугольнике $ABC (AC = BC)$ точка $O$ - центр описанной окружности, точка $I$ - центр вписанной окружности, а точка $D$ на стороне $BC$ такова, что прямые $OD$ и $BI$ перпендикулярны. Докажите, что прямые $ID$ и $AC$ параллельны.
Решение:
Если данный треугольник равносторонний (точки $O$ и $I$ совпадают), то утверждение очевидно. Пусть точка $O$ лежит между точками $I$ и $C$ (см. рис.). Проведем высоту $CE$. Заметим, что
$\angle EIB = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle ABC$ и
$\angle ODB = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle ABC$,
следовательно, $\angle OIB + \angle ODB = 180^{\circ}$, т. е. точки $B, I, O$ и $D$ лежат на одной окружности. Тогда $\angle IDB = \angle IOB$ (как вписанные, опирающиеся на дугу $IB$), но $\angle IOB = \frac{1}{2} \angle AOB = \angle ACB$. Итак, $\angle IDB = \angle ACB$, поэтому $ID \parallel AC$.
В случае, когда точка $I$ лежит между точками $O$ и $C$ (см. рисунки) ход решения остается таким же.
