Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 184
2014-06-07 
Медианы треугольника ABC пересекаются в точке О. Доказать, что
$AB^{2} + BC^{2} + CA^{2} = 3 (OA^{2} + OB^{2} + OC^{2})$.
Решение:
Положим $\overrightarrow{AB} =\mathbf{c}, \overrightarrow{BC} =\mathbf{b}, \overrightarrow{CA} =\mathbf{b}$, тогда
$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3}(\mathbf{c} - \mathbf{b}),\overrightarrow{BO} = \frac{1}{3}(\mathbf{a} - \mathbf{c}),\overrightarrow{CO} = \frac{1}{3}(\mathbf{b} - \mathbf{a})$
и
$(\overrightarrow{AB}^{2} + \overrightarrow{BC}^{2} + \overrightarrow{CA}^{2}) – 3 ( \overrightarrow{OA}^{2} + \overrightarrow{OB}^{2} + \overrightarrow{OC}^{2}) =$
$= \mathbf{a}^{2} + \mathbf{b}^{2} + \mathbf{c}^{2} \frac{1}{3} ((\mathbf{a}-\mathbf{b})^{2} + (\mathbf{b}-\mathbf{c})^{2} + (\mathbf{c}-\mathbf{a})^{2}) =$
$= \frac{1}{3} (\mathbf{a}^{2} + \mathbf{b}^{2} + \mathbf{c}^{2} + 2 \mathbf{a}\mathbf{b} + 2 \mathbf{b}\mathbf{c} + 2 \mathbf{a}\mathbf{c}) = \frac{1}{3}(\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c})^{2} = 0$,
что и требовалось доказать.
Медианы треугольника ABC пересекаются в точке О. Доказать, что
$AB^{2} + BC^{2} + CA^{2} = 3 (OA^{2} + OB^{2} + OC^{2})$.
Решение:
Положим $\overrightarrow{AB} =\mathbf{c}, \overrightarrow{BC} =\mathbf{b}, \overrightarrow{CA} =\mathbf{b}$, тогда
$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3}(\mathbf{c} - \mathbf{b}),\overrightarrow{BO} = \frac{1}{3}(\mathbf{a} - \mathbf{c}),\overrightarrow{CO} = \frac{1}{3}(\mathbf{b} - \mathbf{a})$
и
$(\overrightarrow{AB}^{2} + \overrightarrow{BC}^{2} + \overrightarrow{CA}^{2}) – 3 ( \overrightarrow{OA}^{2} + \overrightarrow{OB}^{2} + \overrightarrow{OC}^{2}) =$
$= \mathbf{a}^{2} + \mathbf{b}^{2} + \mathbf{c}^{2} \frac{1}{3} ((\mathbf{a}-\mathbf{b})^{2} + (\mathbf{b}-\mathbf{c})^{2} + (\mathbf{c}-\mathbf{a})^{2}) =$
$= \frac{1}{3} (\mathbf{a}^{2} + \mathbf{b}^{2} + \mathbf{c}^{2} + 2 \mathbf{a}\mathbf{b} + 2 \mathbf{b}\mathbf{c} + 2 \mathbf{a}\mathbf{c}) = \frac{1}{3}(\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c})^{2} = 0$,
что и требовалось доказать.
