Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1836
2019-01-20 
Центры $O_1 , O_2 $ и $O_3$ трех непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек $O_1, O_2$ и $O_3$ проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.
Решение:
Введем обозначения так, как показано на рис. Так как данные окружности имеют одинаковые радиусы, то $X_1O_2 = O_1Y_2, Y_1O_3 = O_2Z_2, Z_1O_1 = O_3X_2,$ или $X_1A + AB + BO_2 = O_1B + BC + CY_2, Y_1C + CD + DO_3 = O_2D + DE + EZ_2, Z_1E + EF + FO_1 = O_3F + FA + AX_2$.
Сложив полученные равенства и заметив, что
$X_1A = AX_2, Y_1C = CY_2, Z_1E = EZ_2$
(как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки) и
$BO_2 = O_1B, DO_3 = O_2D, FO_1 = O_3F$
(так как радиусы данных окружностей равны), получим: $AB + CD + EF = BC + DE + FA$, что и требовалось доказать.
Замечание 1. Аналогичное утверждение справедливо и для невыпуклого шестиугольника в случае, изображенном на рис.
Замечание 2. В обозначениях рис справедливо равенство $AB \cdot CD \cdot EF = BC \cdot DE \cdot FA$, равносильное тому, что прямые $AD, BE$ и $CF$ пересекаются в одной точке.
Замечание 3. Предыдущее утверждение остается справедливым, даже если отказаться от равенства данных окружностей (см. рис.).
Центры $O_1 , O_2 $ и $O_3$ трех непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек $O_1, O_2$ и $O_3$ проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.
Решение:
Введем обозначения так, как показано на рис. Так как данные окружности имеют одинаковые радиусы, то $X_1O_2 = O_1Y_2, Y_1O_3 = O_2Z_2, Z_1O_1 = O_3X_2,$ или $X_1A + AB + BO_2 = O_1B + BC + CY_2, Y_1C + CD + DO_3 = O_2D + DE + EZ_2, Z_1E + EF + FO_1 = O_3F + FA + AX_2$.
Сложив полученные равенства и заметив, что
$X_1A = AX_2, Y_1C = CY_2, Z_1E = EZ_2$
(как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки) и
$BO_2 = O_1B, DO_3 = O_2D, FO_1 = O_3F$
(так как радиусы данных окружностей равны), получим: $AB + CD + EF = BC + DE + FA$, что и требовалось доказать.
Замечание 1. Аналогичное утверждение справедливо и для невыпуклого шестиугольника в случае, изображенном на рис.
Замечание 2. В обозначениях рис справедливо равенство $AB \cdot CD \cdot EF = BC \cdot DE \cdot FA$, равносильное тому, что прямые $AD, BE$ и $CF$ пересекаются в одной точке.
Замечание 3. Предыдущее утверждение остается справедливым, даже если отказаться от равенства данных окружностей (см. рис.).
