Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1834
2019-01-20 
Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1, считая от вершин, лежат на одной сфере.
Решение:
Пусть $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ - высоты тетраэдра $ABCD, H$ - точка их пересечения, $A_2, B_2, C_2$ - точки, делящие высоты в отношении 2:1, считая от соответствующих вершин, $M$ - точка пересечения медиан $AA_3, BB_3, CC_3$ треугольника $ABC$ (на рис. проведены не все указанные линии). Докажем, что точки $M, A_2, B_2, C_2, D_1$ и $H$ лежат на одной сфере с диаметром $MH$.
Из подобия треугольников $MAA_2$ и $A_3AA_1 (MA : A_3A = A_2A : A_1A = 2:3)$ следует, что $MA_2 \parallel A_3A_1$, т. е. высота тетраэдра и, значит, $AA_1 + A_3A_1$. Аналогично доказывается, что $MB_2 + B_1B$ и $MC_2 + C_1C$. Наконец, $DD_1$ - высота тетраэдра, поэтому $MD_1 + D_1D$. Утверждение доказано.
Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1, считая от вершин, лежат на одной сфере.
Решение:
Пусть $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ - высоты тетраэдра $ABCD, H$ - точка их пересечения, $A_2, B_2, C_2$ - точки, делящие высоты в отношении 2:1, считая от соответствующих вершин, $M$ - точка пересечения медиан $AA_3, BB_3, CC_3$ треугольника $ABC$ (на рис. проведены не все указанные линии). Докажем, что точки $M, A_2, B_2, C_2, D_1$ и $H$ лежат на одной сфере с диаметром $MH$.
Из подобия треугольников $MAA_2$ и $A_3AA_1 (MA : A_3A = A_2A : A_1A = 2:3)$ следует, что $MA_2 \parallel A_3A_1$, т. е. высота тетраэдра и, значит, $AA_1 + A_3A_1$. Аналогично доказывается, что $MB_2 + B_1B$ и $MC_2 + C_1C$. Наконец, $DD_1$ - высота тетраэдра, поэтому $MD_1 + D_1D$. Утверждение доказано.
