2014-06-07
В треугольнике АBС на сторонах АВ, АС и ВС взяты точки $С^{\prime}, B^{\prime}$ и $A^{\prime}$ так, что отрезки $AA^{\prime}, BB^{\prime}$ и $CC^{\prime}$ пересекаются в одной точке. Точки $A^{\prime \prime}, B^{\prime \prime}$ и $C^{\prime \prime}$ симметричны точкам A,B и C соответственно
относительно точек $A^{\prime}, B^{\prime}$ и $C^{\prime}$. Доказать, что
$S_{A^{\prime \prime}B^{\prime \prime}C^{\prime \prime}} = 3 S_{ABC} + 4 S_{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}$.
Решение:
Пусть отрезки $AA^{\prime},BB^{\prime},CC^{\prime}$ пересекаются в точке O (рис.)
и $\angle AOB = \phi$. Тогда имеем равенства
$2 S_{AOB} = AO \cdot BO \sin \phi$,
$2 S_{AOB^{\prime}} = AO \cdot B^{\prime}O \sin \phi$,
$2 S_{BOA^{\prime}} = BO \cdot A^{\prime}O \sin \phi$,
$2 S_{A^{\prime}OB^{\prime}} = A^{\prime}O \cdot B^{\prime}O \sin \phi$,
откуда
$S_{ A^{\prime}OB^{\prime}} = \frac{1}{2} A^{\prime \prime}O \cdot B^{\prime \prime}O= \frac{1}{2} (AO + 2A^{\prime}O)(BO + 2B^{\prime}O) \sin \phi =$
$= S_{ AOB} +2 S_{ AOB^{\prime}} + 2 S_{ BOA^{\prime} } + 4 S_{ A^{\prime}OB^{\prime}}$.
Аналогично доказываются равенства
$S_{ A^{\prime \prime}OC^{\prime \prime }} = S_{AOC} + 2 S_{AOC^{\prime}} + 2 S_{COA^{\prime}} + 4 S_{A^{\prime}OC^{\prime}}$,
$ S_{ B^{\prime \prime}OC^{\prime \prime }} = S_{BOC} + 2 S_{BOC^{\prime}} + 2 S_{COB^{\prime}} + 4 S_{B^{\prime}OC^{\prime}}$.
Таким образом, получаем
$ S_{ A^{\prime \prime} B^{\prime \prime} C^{\prime \prime }} = S_{ A^{\prime \prime}OB^{\prime \prime }} + S_{ A^{\prime \prime}OC^{\prime \prime }} + S_{ B^{\prime \prime}OC^{\prime \prime }} = S_{ ABC} + 2 (S_{ AOB^{\prime }} + S_{ B^{\prime}OC^{ \prime }} + S_{ COA^{ \prime }} + S_{ A^{\prime}OB} + S_{BOC^{ \prime }} + S_{ C^{ \prime}OA}) + 4 S_{ A^{\prime} B^{\prime}C^{\prime }} = 3 S_{ABC} + 4 S_{ A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}$,
что и требовалось доказать.