Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1825
2019-01-20 
Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.
Решение:
Первое решение. Пусть $A_nA_1$ - самая короткая (одна из них) сторона многоугольника $A_1A_2 \cdots A_n$ с равными углами. Тогда $A_nA_1 \leq A_1A_2$ и $A_nA_1 \leq A_{n-1}A_n$. Предположим, что многоугольник не имеет других, кроме $A_nA_1$ сторон, не превосходящих соседних с ними. Пусть $A_mA_{m+1}$ - самая длинная (одна из них) сторона многоугольника. Тогда $A_nA_1 < A_1A_2 < A_2A_3 < \cdots < A_mA_{m+1}$, так как если $A_{k-1}A_k \geq A_k A_{k+1}$, то наименьшая среди сторон $A_kA_{k+1}, \cdots, A_{m-1}A_m$ не длиннее соседних с ней. Аналогично $A_nA_1 < A_{n-1}A_n < \cdots < A_{m+1}A_{m+2} < A_mA_{m+1}$.
Отложим векторы $\vec{A_iA_{i+1}}, i = 1, \cdots, n$ от одной точки: $\vec{OB_i} = \vec{A_iA_{i+1}}$ (см. рис.). Тогда $\vec{OB_1} + \cdots + \vec{OB_n} = \vec{A_1A_2} + \cdots + \vec{A_nA_1} = 0$, и, следовательно, сумма проекций $\vec{OC_i}, i = 1, \cdots, n$, этих векторов на любую прямую $l_1$ равна 0. Возьмем в качестве $l_1$ прямую, перпендикулярную биссектрисе $l$ угла $B_1OB_m$. Из условия следует, что $\angle B_1OB_2 = \cdots = \angle B_{m-1}OB_m = \frac{2\pi}{n}$, поэтому пары лучей $[OB_1)$ и $[OB_m), [OB_2)$ и $[OB_{m-1}), \cdots $ симметричны относительно прямой $l$. Для нечетного $m, m = 2s - 1$, без пары останется луч $[OBS),$ лежащий на $l$. Соответственно, векторы $\vec{OC_i}i = 1, \cdots , m$, разобьются на пары противоположно направленных векторов, причем $OC_1 < OC_m, OC_2 < OC_{m-1}, \cdots$ (если $m = 2s + 1$, то $\vec{OC_i} = \vec{0}$). Таким образом, $\vec{OC_1} + \cdots + \vec{OC_m} = \vec{d_1}$, где $\vec{d_1}$ - направленный вверх вектор. Аналогично, $\vec{OC_n} + \vec{OC_n-l} + \cdots + \vec{OC_m+1} = \vec{d_2}$, где $\vec{d_2}$ сонаправлен с $\vec{d_1}$ и хотя бы один из векторов $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$ ненулевой. Но тогда $\vec{OC_1} + \cdots + \vec{OC_n} = \vec{d_1} + \vec{d_2} \neq \vec{0}$. Противоречие, следовательно найдется отличная от $A_nA_1$ сторона многоугольника, не превосходящая соседние с ней стороны.
Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.
Решение:
Первое решение. Пусть $A_nA_1$ - самая короткая (одна из них) сторона многоугольника $A_1A_2 \cdots A_n$ с равными углами. Тогда $A_nA_1 \leq A_1A_2$ и $A_nA_1 \leq A_{n-1}A_n$. Предположим, что многоугольник не имеет других, кроме $A_nA_1$ сторон, не превосходящих соседних с ними. Пусть $A_mA_{m+1}$ - самая длинная (одна из них) сторона многоугольника. Тогда $A_nA_1 < A_1A_2 < A_2A_3 < \cdots < A_mA_{m+1}$, так как если $A_{k-1}A_k \geq A_k A_{k+1}$, то наименьшая среди сторон $A_kA_{k+1}, \cdots, A_{m-1}A_m$ не длиннее соседних с ней. Аналогично $A_nA_1 < A_{n-1}A_n < \cdots < A_{m+1}A_{m+2} < A_mA_{m+1}$.
Отложим векторы $\vec{A_iA_{i+1}}, i = 1, \cdots, n$ от одной точки: $\vec{OB_i} = \vec{A_iA_{i+1}}$ (см. рис.). Тогда $\vec{OB_1} + \cdots + \vec{OB_n} = \vec{A_1A_2} + \cdots + \vec{A_nA_1} = 0$, и, следовательно, сумма проекций $\vec{OC_i}, i = 1, \cdots, n$, этих векторов на любую прямую $l_1$ равна 0. Возьмем в качестве $l_1$ прямую, перпендикулярную биссектрисе $l$ угла $B_1OB_m$. Из условия следует, что $\angle B_1OB_2 = \cdots = \angle B_{m-1}OB_m = \frac{2\pi}{n}$, поэтому пары лучей $[OB_1)$ и $[OB_m), [OB_2)$ и $[OB_{m-1}), \cdots $ симметричны относительно прямой $l$. Для нечетного $m, m = 2s - 1$, без пары останется луч $[OBS),$ лежащий на $l$. Соответственно, векторы $\vec{OC_i}i = 1, \cdots , m$, разобьются на пары противоположно направленных векторов, причем $OC_1 < OC_m, OC_2 < OC_{m-1}, \cdots$ (если $m = 2s + 1$, то $\vec{OC_i} = \vec{0}$). Таким образом, $\vec{OC_1} + \cdots + \vec{OC_m} = \vec{d_1}$, где $\vec{d_1}$ - направленный вверх вектор. Аналогично, $\vec{OC_n} + \vec{OC_n-l} + \cdots + \vec{OC_m+1} = \vec{d_2}$, где $\vec{d_2}$ сонаправлен с $\vec{d_1}$ и хотя бы один из векторов $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$ ненулевой. Но тогда $\vec{OC_1} + \cdots + \vec{OC_n} = \vec{d_1} + \vec{d_2} \neq \vec{0}$. Противоречие, следовательно найдется отличная от $A_nA_1$ сторона многоугольника, не превосходящая соседние с ней стороны.
