Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1820
2019-01-20 
Точки $A_2, B_2$ и $C_2$ - середины высот $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$. Найдите сумму углов $B_2A_1C_2, C_2B_1A_2$ и $A_2C_1B_2$.
Решение:
Первое решение. Пусть $M$ - середина стороны $AB$ (см. рис.). Заметим, что отрезки $MA_2$ и $MB_2$ - средние линии прямоугольных треугольников $AA_1B$ и $AB_1B$. Из этого следует, что, во-первых, $\angle A_2MB_2 = \angle ACB$ (как углы с соответственно параллельными и противоположно направленными сторонами), а во-вторых, $\angle HA_2M = \angle HB_2M = 90^{\circ}$, поэтому точки $M, A_2, H$ и $B_2$ лежат на окружности с центром в середине отрезка $MH$. Так как $\angle MC_1H = 90^{\circ}$, то на указанной окружности лежит и точка $C_1$. Следовательно, $\angle A_2MB_2 = \angle A_2C_1B_2$ (как вписанные, опирающиеся на дугу $A_2B_2$).
Итак, $\angle A_2MB_2 = \angle ACB$ и $\angle A_2MB_2 = \angle A_2C_1B_2$, поэтому $\angle A_2C_1B_2 = \angle ACB$. Аналогично доказывается, что $\angle B_2A_1C_2 = \angle BAC$ и $\angle C_2B_1A_2 = \angle CBA$. Следовательно, искомая сумма равна сумме углов треугольника $ABC$.
Второе решение. Известно, что треугольники $ABC, A_1B_1C$ и $A_1BC_1$ подобны, откуда $\angle BA_1B_1 = \angle C_1A_1C$ и $\frac{A_1C_1}{A_1C} = \frac{A_1B}{A_1B_1}$. Поэтому треугольники $A_1CC_1$ и $A_1B_1B$ подобны, и существует поворотная гомотетия с центром $A_1$ на угол $CA_1B_1$, переводящая один из этих треугольников в другой. Следовательно, $\angle C_2A_1B_2 = \angle B_1A_1C$, так как при этой поворотной гомотетии середина отрезка $CC_1$ перейдет в середину отрезка $B_1B$; аналогично $\angle B_2C_1A_2 = \angle A_1C_1B$ и $\angle A_2B_1C_2 = \angle C_1B_1A$; суммируя углы треугольников $CA_1B_1, BC_1A_1$ и $AB_1C_1$, получаем, что $\angle B_1A_1C + \angle A_1C_1B + \angle C_1B_1A = 180^{\circ}$, откуда и следует доказываемое утверждение.
Замечание. Кроме случая, изображенного на рис., возможен еще случай, изображенный на рис. Приведенное доказательство проходит в обоих случаях.
Ответ. $180^{\circ}$.
Точки $A_2, B_2$ и $C_2$ - середины высот $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$. Найдите сумму углов $B_2A_1C_2, C_2B_1A_2$ и $A_2C_1B_2$.
Решение:
Первое решение. Пусть $M$ - середина стороны $AB$ (см. рис.). Заметим, что отрезки $MA_2$ и $MB_2$ - средние линии прямоугольных треугольников $AA_1B$ и $AB_1B$. Из этого следует, что, во-первых, $\angle A_2MB_2 = \angle ACB$ (как углы с соответственно параллельными и противоположно направленными сторонами), а во-вторых, $\angle HA_2M = \angle HB_2M = 90^{\circ}$, поэтому точки $M, A_2, H$ и $B_2$ лежат на окружности с центром в середине отрезка $MH$. Так как $\angle MC_1H = 90^{\circ}$, то на указанной окружности лежит и точка $C_1$. Следовательно, $\angle A_2MB_2 = \angle A_2C_1B_2$ (как вписанные, опирающиеся на дугу $A_2B_2$).
Итак, $\angle A_2MB_2 = \angle ACB$ и $\angle A_2MB_2 = \angle A_2C_1B_2$, поэтому $\angle A_2C_1B_2 = \angle ACB$. Аналогично доказывается, что $\angle B_2A_1C_2 = \angle BAC$ и $\angle C_2B_1A_2 = \angle CBA$. Следовательно, искомая сумма равна сумме углов треугольника $ABC$.
Второе решение. Известно, что треугольники $ABC, A_1B_1C$ и $A_1BC_1$ подобны, откуда $\angle BA_1B_1 = \angle C_1A_1C$ и $\frac{A_1C_1}{A_1C} = \frac{A_1B}{A_1B_1}$. Поэтому треугольники $A_1CC_1$ и $A_1B_1B$ подобны, и существует поворотная гомотетия с центром $A_1$ на угол $CA_1B_1$, переводящая один из этих треугольников в другой. Следовательно, $\angle C_2A_1B_2 = \angle B_1A_1C$, так как при этой поворотной гомотетии середина отрезка $CC_1$ перейдет в середину отрезка $B_1B$; аналогично $\angle B_2C_1A_2 = \angle A_1C_1B$ и $\angle A_2B_1C_2 = \angle C_1B_1A$; суммируя углы треугольников $CA_1B_1, BC_1A_1$ и $AB_1C_1$, получаем, что $\angle B_1A_1C + \angle A_1C_1B + \angle C_1B_1A = 180^{\circ}$, откуда и следует доказываемое утверждение.
Замечание. Кроме случая, изображенного на рис., возможен еще случай, изображенный на рис. Приведенное доказательство проходит в обоих случаях.
Ответ. $180^{\circ}$.
