Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1819
2019-01-20 
Назовем натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, такие, что сумма двух из них равна третьему.
Решение:
Заметим, что 459 + 495 = 954, а число 1995 делится на 3. Поэтому искомыми будут, например, числа $\underset{665\:троек}{\underbrace {\overbrace{459}\overbrace{459} \cdots \overbrace{459}}}, \underset{665\:троек}{\underbrace {\overbrace{495}\overbrace{495} \cdots \overbrace{495}}} $, и их сумма.
Отметим, что 459, 495 и 954 - периоды десятичных разложений дробей $\frac{51}{111}, \frac{55}{111}$ и их суммы $\frac{106}{111}$. Вообще, дроби с одинаковыми знаменателями разбиваются на группы дробей с одинаковыми наборами цифр в периоде (подумайте, почему!): $\frac{2}{13} = 0,(153846), \frac{5}{13} = 0,(384615), \frac{7}{13} = 0,(538461)$, (таким образом, $153846 + 384615 = 538461$); $\frac{1}{13} = 0,(076923), \frac{3}{13} = 0,(230769)$ и т.п. Добавляя к периодам из одной группы необходимое числа девяток, можно получить другие тройки искомых похожих чисел. Например: $15384 \underset {1989}{\underbrace{99 \cdots 9}}6 + 38461\underset{1989}{\underbrace{99 \cdots 9}}5 = 53846\underset{1989}{\underbrace{99 \cdots 9}}1$.
Назовем натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, такие, что сумма двух из них равна третьему.
Решение:
Заметим, что 459 + 495 = 954, а число 1995 делится на 3. Поэтому искомыми будут, например, числа $\underset{665\:троек}{\underbrace {\overbrace{459}\overbrace{459} \cdots \overbrace{459}}}, \underset{665\:троек}{\underbrace {\overbrace{495}\overbrace{495} \cdots \overbrace{495}}} $, и их сумма.
Отметим, что 459, 495 и 954 - периоды десятичных разложений дробей $\frac{51}{111}, \frac{55}{111}$ и их суммы $\frac{106}{111}$. Вообще, дроби с одинаковыми знаменателями разбиваются на группы дробей с одинаковыми наборами цифр в периоде (подумайте, почему!): $\frac{2}{13} = 0,(153846), \frac{5}{13} = 0,(384615), \frac{7}{13} = 0,(538461)$, (таким образом, $153846 + 384615 = 538461$); $\frac{1}{13} = 0,(076923), \frac{3}{13} = 0,(230769)$ и т.п. Добавляя к периодам из одной группы необходимое числа девяток, можно получить другие тройки искомых похожих чисел. Например: $15384 \underset {1989}{\underbrace{99 \cdots 9}}6 + 38461\underset{1989}{\underbrace{99 \cdots 9}}5 = 53846\underset{1989}{\underbrace{99 \cdots 9}}1$.
