Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 1818
2019-01-20 
Можно ли в клетки таблицы $9 \times 9$ записать натуральные числа от 1 до 81 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате $3 \times 3$ была одна и та же?
Решение:
Покажем, как построить пример такой таблицы.
Таблица $T$, изображенная на рис., содержит по девять раз каждое из чисел $1, 2, \cdots, 9$ и обладает тем свойством, что сумма чисел в любом квадрате $3 \times 3$ равна 36. Ясно, что таблица $Q$, получаемая из нее поворотом на $90^{\circ}$, также обладает указанными свойствами.
Заметим теперь, что одинаковым числам таблицы $T$ соответствуют различные числа таблицы $Q$, поэтому существует взаимно однозначное соответствие между клетками таблицы $9 \times 9$ и парами $(a; b)$, где $a, b = 1, 2, \cdots, 9$. Если теперь взять новую таблицу $9 \times 9$ и в ее клетке, соответствующей паре $(a; b)$, записать число $9a + b - 9$, то каждое из чисел от 1 до 81 встретится в такой таблице ровно один раз, а сумма чисел в каждом квадрате $3 \times 3$ будет одна и та же (она равна 369).
Ответ. Можно.
Можно ли в клетки таблицы $9 \times 9$ записать натуральные числа от 1 до 81 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате $3 \times 3$ была одна и та же?
Решение:
Покажем, как построить пример такой таблицы.
Таблица $T$, изображенная на рис., содержит по девять раз каждое из чисел $1, 2, \cdots, 9$ и обладает тем свойством, что сумма чисел в любом квадрате $3 \times 3$ равна 36. Ясно, что таблица $Q$, получаемая из нее поворотом на $90^{\circ}$, также обладает указанными свойствами.
Заметим теперь, что одинаковым числам таблицы $T$ соответствуют различные числа таблицы $Q$, поэтому существует взаимно однозначное соответствие между клетками таблицы $9 \times 9$ и парами $(a; b)$, где $a, b = 1, 2, \cdots, 9$. Если теперь взять новую таблицу $9 \times 9$ и в ее клетке, соответствующей паре $(a; b)$, записать число $9a + b - 9$, то каждое из чисел от 1 до 81 встретится в такой таблице ровно один раз, а сумма чисел в каждом квадрате $3 \times 3$ будет одна и та же (она равна 369).
Ответ. Можно.
